Examkin

Question

Difficulty: Very hardBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x3+x)=g(x2−x)⋅(x2+1)+x2−2xf(x^3 + x) = g(x^2 - x) \cdot (x^2 + 1) + x^2 - 2x
g(2x−2)=f(x2−3x+2)+x3−1g(2x - 2) = f(x^2 - 3x + 2) + x^3 - 1
eşitliklerini sağlamaktadır.

g(0)=2g(0) = 2 olduğuna göre, h(x)=(f∘g)(x2−2x)h(x) = (f \circ g)(x^2 - 2x) şeklinde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(0)h'(0) değeri kaçtır?

  1. −35-35Answer
  2. B
    −45-45
  3. C
    −352-\frac{35}{2}
  4. D
    −7-7
  5. E
    3535

Answer

−35-35
Doğru cevap −35-35 değeridir. h(x)=f(g(x2−2x))h(x) = f(g(x^2 - 2x)) fonksiyonunun türevi zincir kuralı uyarınca alındığında h′(x)=f′(g(x2−2x))⋅g′(x2−2x)⋅(2x−2)h'(x) = f'(g(x^2 - 2x)) \cdot g'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) olur. Burada x=0x = 0 yazıldığında h′(0)=f′(g(0))⋅g′(0)⋅(−2)h'(0) = f'(g(0)) \cdot g'(0) \cdot (-2) ifadesi elde edilir. Verilen denklemlerin türevlerinden elde edilen g(0)=2g(0) = 2, g′(0)=5g'(0) = 5 ve f′(2)=7/2f'(2) = 7/2 değerleri bu ifadede yerine yazıldığında sonuç −35-35 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen fonksiyonel denklemlerin her iki tarafının xx değişkenine göre türevi alınır.
Birinci denklemden:
f′(x3+x)⋅(3x2+1)=g′(x2−x)⋅(2x−1)⋅(x2+1)+2x⋅g(x2−x)+2x−2f'(x^3 + x) \cdot (3x^2 + 1) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1) \cdot (x^2 + 1) + 2x \cdot g(x^2 - x) + 2x - 2
İkinci denklemden:
2⋅g′(2x−2)=f′(x2−3x+2)⋅(2x−3)+3x22 \cdot g'(2x - 2) = f'(x^2 - 3x + 2) \cdot (2x - 3) + 3x^2
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı gereği içteki ifadelerin türevleri çarpım şeklinde dışarıya yazılır.
2
Türev denklemlerinde uygun xx değerleri yerine yazılarak türev değerleri arasındaki bağıntılar kurulur.
Birinci türev denkleminde x=1x = 1 yazılırsa:
4⋅f′(2)=2⋅g′(0)+2⋅g(0)4 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(0) + 2 \cdot g(0)
g(0)=2g(0) = 2 olduğu için:
4⋅f′(2)=2⋅g′(0)+4  ⟹  2⋅f′(2)−g′(0)=2(Denklem I)4 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(0) + 4 \implies 2 \cdot f'(2) - g'(0) = 2 \quad \text{(Denklem I)}

Birinci türev denkleminde x=0x = 0 yazılırsa:
f′(0)=−g′(0)−2  ⟹  f′(0)+g′(0)=−2(Denklem II)f'(0) = -g'(0) - 2 \implies f'(0) + g'(0) = -2 \quad \text{(Denklem II)}

İkinci türev denkleminde x=1x = 1 yazılırsa:
2⋅g′(0)=−f′(0)+3  ⟹  f′(0)+2⋅g′(0)=3(Denklem III)2 \cdot g'(0) = -f'(0) + 3 \implies f'(0) + 2 \cdot g'(0) = 3 \quad \text{(Denklem III)}
Bilinmeyen türev değerlerini belirlemek amacıyla çözülebilir bir doğrusal denklem sistemi elde edilir.
3
Elde edilen Denklem II ve Denklem III ortak çözülerek g′(0)g'(0) ve f′(0)f'(0) değerleri hesaplanır.
Denklem III'ten Denklem II taraf tarafa çıkarılırsa:
g′(0)=3−(−2)=5g'(0) = 3 - (-2) = 5
Bu değer Denklem II'de yerine yazılırsa:
f′(0)+5=−2  ⟹  f′(0)=−7f'(0) + 5 = -2 \implies f'(0) = -7
Ortak çözüm yapılarak gg fonksiyonunun sıfır noktasındaki türev değerine ulaşılır.
4
Bulunan g′(0)=5g'(0) = 5 değeri Denklem I'de yerine yazılarak f′(2)f'(2) değeri hesaplanır.
2⋅f′(2)−5=2  ⟹  2⋅f′(2)=7  ⟹  f′(2)=722 \cdot f'(2) - 5 = 2 \implies 2 \cdot f'(2) = 7 \implies f'(2) = \frac{7}{2}
h(x)h(x) fonksiyonunun türevinde kullanılacak olan f′(2)f'(2) değerini belirlemek için Denklem I kullanılır.
5
h(x)=f(g(x2−2x))h(x) = f(g(x^2 - 2x)) bileşke fonksiyonunun türevi zincir kuralıyla alınarak x=0x = 0 noktası için hesaplanır.
h′(x)=f′(g(x2−2x))⋅g′(x2−2x)⋅(2x−2)h'(x) = f'(g(x^2 - 2x)) \cdot g'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)
x=0x = 0 yazılırsa:
h′(0)=f′(g(0))⋅g′(0)⋅(2(0)−2)h'(0) = f'(g(0)) \cdot g'(0) \cdot (2(0) - 2)
h′(0)=f′(2)⋅g′(0)⋅(−2)h'(0) = f'(2) \cdot g'(0) \cdot (-2)
h′(0)=72⋅5⋅(−2)=−35h'(0) = \frac{7}{2} \cdot 5 \cdot (-2) = -35
Zincir kuralı üçlü bileşke yapısına uygulanarak elde edilen değerler yerine yazılır ve nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken en dıştaki fonksiyondan en içtekine doğru zincir kuralı uygulanır ve her adımda içteki ifadenin türevi çarpım olarak eklenir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic