Dik koordinat düzleminde, f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 2x - 3$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre; $y = f(x)$ eğrisi, $x$ -ekseni, $x = 0$ ve $x = 4$ doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

$\frac{34}{3}$ Answer
B
$\frac{20}{3}$
C
$9$
D
$\frac{7}{3}$
E
$8$

Answer

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı

\frac{34}{3}

birimkaredir.

İntegral sınırları

[0, 4]

aralığında fonksiyonun kökü olan

x=3

noktasına göre parçalanır.

[0, 3]

aralığında fonksiyon negatif değerler aldığından bu kısım için integralin önüne eksi işareti getirilir.

[3, 4]

aralığında ise fonksiyon pozitif değerler aldığından doğrudan belirli integral hesaplanır. Bu iki alanın toplamı olan

9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3}

ifadesi doğru cevabı verir.

Step-by-Step Solution

Fonksiyonun köklerini bularak integral sınırlarını belirlemek.

x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0

denkleminden kökler

x = -1

x = 3

olarak bulunur. İntegral aralığımız

[0, 4]

olduğundan, bu aralıktaki tek kök

x = 3

noktasıdır.

Fonksiyonun x-eksenini kestiği noktalarda işaret değiştireceğinden, alan hesaplanırken bu noktalara göre integral parçalanmalıdır.

Aralıkları belirleyip alan integralini yazmak.

[0, 3]

aralığında

f(x) \le 0

olduğundan alan

S_1 = \int_0^3 -f(x)\,dx

olur.

[3, 4]

aralığında

f(x) \ge 0

olduğundan alan

S_2 = \int_3^4 f(x)\,dx

olur. Toplam Alan =

S_1 + S_2

x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı integralin negatif işaretlisine, üstünde kalan bölgelerin alanı ise integralin kendisine eşittir.

İlk bölgenin (

S_1

) alanını hesaplamak.

S_1 = \int_0^3 (-x^2 + 2x + 3)\,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_0^3 = (-9 + 9 + 9) - 0 = 9

birimkare.

Belirli integral kuralları uygulanarak

[0, 3]

aralığındaki alan değeri bulunur.

İkinci bölgenin (

S_2

) alanını hesaplamak.

S_2 = \int_3^4 (x^2 - 2x - 3)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x \right]_3^4 = \left( \frac{64}{3} - 16 - 12 \right) - (9 - 9 - 9) = \left( \frac{64}{3} - 28 \right) + 9 = \frac{7}{3}

birimkare.

Belirli integral kuralları uygulanarak

[3, 4]

aralığındaki alan değeri bulunur.

Toplam alanı bulmak.

S = S_1 + S_2 = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3}

birimkare.

Elde edilen iki alt bölgenin alanları toplanarak toplam alan bulunur.

Key Concept

Belirli integral kullanarak bir eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplarken, x-ekseninin altında kalan bölgeler için integral değerinin önüne eksi işareti konularak alanın pozitif çıkması sağlanır.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic