Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=asin⁡(x)+cos⁡(2x)f(x) = a \sin(x) + \cos(2x)
fonksiyonunun grafiğine x=π6x = \frac{\pi}{6} apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu,
3x−y+5=0\sqrt{3}x - y + 5 = 0
doğrusuna paraleldir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Answer: 4

Answer

a = 4
Grafiğe üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevidir. İki doğrunun paralel olması eğimlerinin eşit olmasını gerektirir. Buradan hareketle f′(π6)=3f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} eşitliği kurularak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=acos⁡(x)−2sin⁡(2x)f'(x) = a \cos(x) - 2 \sin(2x)
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x=π6x = \frac{\pi}{6} değerini yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini bulun.
f′(π6)=acos⁡(π6)−2sin⁡(π3)=(a−2)32f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = (a-2)\frac{\sqrt{3}}{2}
x=π6x = \frac{\pi}{6} apsisli noktadaki teğetin eğim ifadesini elde etmek için trigometrik değerler yerine yazılır.
3
Verilen doğrunun eğimini bulun.
m=3m = \sqrt{3}
4
Teğet doğrusu ile verilen doğrunun paralellik şartını uygulayarak aa değerini çözün.
a=4a = 4
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Bu nedenle (a−2)32=3(a-2)\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} eşitliğinden a−2=2  ⟹  a=4a-2 = 2 \implies a = 4 elde edilir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu ve paralel doğruların eğim ilişkisi
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic