Examkin

Question

Difficulty: EasyTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x+3}{x-2}
eğrisine üzerindeki x=3x = 3 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
  1. A
    -5
  2. B
    −15-\frac{1}{5}
  3. 15\frac{1}{5}Answer
  4. D
    5
  5. E
    −16-\frac{1}{6}

Answer

Eğriye üzerindeki x=3x = 3 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi 15\frac{1}{5}'tir.
Doğru yanıt olan 15\frac{1}{5} değeri, eğrinin x=3x = 3 noktasındaki türevinin (teğet eğimi olan −5-5) negatif tersi alınarak elde edilir. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini bulun.
f′(x)=1⋅(x−2)−1⋅(x+3)(x−2)2=−5(x−2)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - 1 \cdot (x+3)}{(x-2)^2} = \frac{-5}{(x-2)^2}
Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x=3x = 3 değerini yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) bulun.
mt=f′(3)=−5(3−2)2=−5m_t = f'(3) = \frac{-5}{(3-2)^2} = -5
Teğet doğrusunun eğimi, x=3x = 3 noktasındaki türev değeridir.
3
Teğet doğrusu ile normal doğrusunun dik kesişme özelliğini (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) kullanarak normal doğrusunun eğimini (mnm_n) hesaplayın.
−5⋅mn=−1⇒mn=15-5 \cdot m_n = -1 \Rightarrow m_n = \frac{1}{5}
Bir eğriye üzerindeki aynı noktadan çizilen teğet ve normal doğruları birbirine diktir, dolayısıyla eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimi ile diklik ilişkisi (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) kullanılarak bulunur.
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic