Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡x(x2⋅y3)=8\log_x (x^2 \cdot y^3) = 8
olduğuna göre,
log⁡y(x4⋅y3)\log_y (x^4 \cdot y^3)
ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    2
  2. 5Answer
  3. C
    6
  4. D
    9
  5. E
    11

Answer

İfadenin değeri 5'tir.
Verilen log⁡x(x2⋅y3)=8\log_x (x^2 \cdot y^3) = 8 eşitliği log⁡xx2+log⁡xy3=8\log_x x^2 + \log_x y^3 = 8 şeklinde açıldığında 2+3log⁡xy=82 + 3\log_x y = 8 denklemi elde edilir. Buradan log⁡xy=2\log_x y = 2 bulunur. Logaritmanın taban değiştirme kuralı gereği, taban ve argüman yer değiştirdiğinde ifadenin çarpmaya göre tersi alınır, dolayısıyla log⁡yx=12\log_y x = \frac{1}{2} olur. İstenen log⁡y(x4⋅y3)\log_y (x^4 \cdot y^3) ifadesi ise 4log⁡yx+3log⁡yy4\log_y x + 3\log_y y olarak açılır. Burada log⁡yx=12\log_y x = \frac{1}{2} ve log⁡yy=1\log_y y = 1 değerleri yerine konulduğunda 4⋅12+3=54 \cdot \frac{1}{2} + 3 = 5 sonucu bulunur. Bu nedenle doğru cevap 5 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
İlk verilen logaritma ifadesini logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak bileşenlerine ayırın.
log⁡x(x2⋅y3)=log⁡x(x2)+log⁡x(y3)=2log⁡xx+3log⁡xy=2+3log⁡xy\log_x(x^2 \cdot y^3) = \log_x(x^2) + \log_x(y^3) = 2\log_x x + 3\log_x y = 2 + 3\log_x y
Logaritmanın log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c ve log⁡a(bn)=nlog⁡ab\log_a(b^n) = n\log_a b özelliklerini uygulamak için.
2
Elde edilen ifadeyi verilen değere eşitleyerek log⁡xy\log_x y değerini çözün.
2+3log⁡xy=8  ⟹  3log⁡xy=6  ⟹  log⁡xy=22 + 3\log_x y = 8 \implies 3\log_x y = 6 \implies \log_x y = 2
log⁡xy\log_x y değerini bulup taban değiştirme kuralında kullanmak için.
3
Taban değiştirme özelliğini kullanarak log⁡yx\log_y x değerini elde edin.
log⁡yx=1log⁡xy=12\log_y x = \frac{1}{\log_x y} = \frac{1}{2}
log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} özelliğini kullanarak sorulan ifadedeki tabana geçiş yapmak için.
4
İkinci logaritma ifadesini çarpım ve üs özelliklerini kullanarak açın ve bulduğunuz değeri yerine yazın.
log⁡y(x4⋅y3)=4log⁡yx+3log⁡yy=4(12)+3=2+3=5\log_y (x^4 \cdot y^3) = 4\log_y x + 3\log_y y = 4\left(\frac{1}{2}\right) + 3 = 2 + 3 = 5
İstenen ifadenin nihai değerini hesaplamak için.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic