Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere üzerindeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini AA noktasında ve yy-eksenini BB noktasında kesmektedir. PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) ve θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğuna göre, AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    cos⁡θ+sin⁡θ\cos\theta + \sin\theta
  2. B
    tan⁡θ+cot⁡θ\tan\theta + \cot\theta
  3. C
    sec⁡θ−csc⁡θ\sec\theta - \csc\theta
  4. sec⁡θ+csc⁡θ\sec\theta + \csc\thetaAnswer
  5. E
    −sec⁡θ−csc⁡θ-\sec\theta - \csc\theta

Answer

sec(theta) + csc(theta) ifadesidir.
Birim çembere P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından teğet olan doğrunun denklemi xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 şeklindedir. Doğrunun eksenleri kestiği noktaların koordinatları A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta) olarak hesaplanır. Buradan AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamı sec⁡θ+csc⁡θ\sec\theta + \csc\theta olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini kuralım.
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Merkezil birim çember üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çembere çizilen teğet doğrusunun denklemi x⋅x0+y⋅y0=1x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = 1 formülüyle belirlenir.
2
Teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği AA noktasının apsisini bulalım.
xA=sec⁡θx_A = \sec\theta
xx-eksenini kesim noktasını bulmak için teğet denkleminde y=0y = 0 yazılır. Buradan xcos⁡θ=1  ⟹  x=1cos⁡θ=sec⁡θx\cos\theta = 1 \implies x = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta elde edilir.
3
Teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği BB noktasının ordinatını bulalım.
yB=csc⁡θy_B = \csc\theta
yy-eksenini kesim noktasını bulmak için teğet denkleminde x=0x = 0 yazılır. Buradan ysin⁡θ=1  ⟹  y=1sin⁡θ=csc⁡θy\sin\theta = 1 \implies y = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta elde edilir.
4
Bulunan apsis ve ordinat değerlerini toplayalım.
xA+yB=sec⁡θ+csc⁡θx_A + y_B = \sec\theta + \csc\theta
AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamı istenmektedir.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eksen kesim noktalarının koordinatlarının bulunması.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic