Examkin

Question

Difficulty: MediumParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+kx+pf(x) = -x^2 + kx + p fonksiyonunun grafiği olan parabol koordinat eksenlerini A(0,3)A(0, 3), B(x1,0)B(x_1, 0) ve C(x2,0)C(x_2, 0) noktalarında kesmektedir.

x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 ve ∣OB∣=3∣OC∣|OB| = 3|OC| olduğuna göre, k+pk + p toplamı kaçtır?

  1. A
    -5
  2. B
    -1
  3. C
    3
  4. D
    5
  5. 1Answer

Answer

Doğru cevap 1'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktalardan hareketle, y-eksenini kestiği nokta olan A(0, 3) değeri denklemde yerine yazıldığında p = 3 bulunur. x-eksenini kestiği noktaların orijine olan uzaklık oranlarından x_1 = -3x_2 ilişkisi kurulur. Kökler çarpımı formülünden x_1 * x_2 = -3 olduğu bilinir. Bu iki bağıntı ortak çözüldüğünde pozitif kök 1, negatif kök ise -3 olarak bulunur. Kökler toplamı k = x_1 + x_2 = -2 olduğundan, k + p = -2 + 3 = 1 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün y-eksenini kestiği noktayı kullanarak p parametresini bulunuz.
p=3p = 3
Parabol y-eksenini A(0,3)A(0, 3) noktasında kestiği için f(0)=3f(0) = 3 olmalıdır. Denklemde x=0x = 0 yazıldığında f(0)=p  ⟹  p=3f(0) = p \implies p = 3 elde edilir.
2
Köklerin geometrik uzaklık ilişkisinden yararlanarak kökler arasındaki bağıntıyı kurunuz.
x1=−3x2x_1 = -3x_2
B(x1,0)B(x_1, 0) ve C(x2,0)C(x_2, 0) noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıyla ∣OB∣=−x1|OB| = -x_1 (çünkü x1<0x_1 < 0) ve ∣OC∣=x2|OC| = x_2 (çünkü x2>0x_2 > 0) şeklindedir. ∣OB∣=3∣OC∣  ⟹  −x1=3x2  ⟹  x1=−3x2|OB| = 3|OC| \implies -x_1 = 3x_2 \implies x_1 = -3x_2 olur.
3
Kökler çarpımı formülünü kullanarak köklerin değerlerini hesaplayınız.
x2=1x_2 = 1 ve x1=−3x_1 = -3
İkinci dereceden denklemde kökler çarpımı x1⋅x2=p−1=−p=−3x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{-1} = -p = -3 olur. x1=−3x2x_1 = -3x_2 bağıntısı yerine yazılırsa: −3x22=−3  ⟹  x22=1-3x_2^2 = -3 \implies x_2^2 = 1 elde edilir. x2>0x_2 > 0 olduğundan x2=1x_2 = 1 ve dolayısıyla x1=−3x_1 = -3 bulunur.
4
Kökler toplamı formülünü kullanarak k değerini hesaplayınız ve ardından k+p toplamını bulunuz.
k=−2k = -2 ve k+p=1k + p = 1
Kökler toplamı x1+x2=−k−1=kx_1 + x_2 = \frac{-k}{-1} = k formülü ile bulunur. Buradan k=−3+1=−2k = -3 + 1 = -2 elde edilir. Sonuç olarak k+p=−2+3=1k + p = -2 + 3 = 1 bulunur.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktalar, ikinci dereceden denklemin kökleri ile y-keseni arasındaki ilişkiyi belirler. x-eksenini kestiği noktaların apsisleri, fonksiyonu sıfır yapan köklerdir ve kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler (toplam ve çarpım) bu noktaların analitik özelliklerini çözmekte kullanılır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic