Examkin

Question

Difficulty: HardAritmetik Dizi ve Özellikleri
(an)(a_n) bir aritmetik dizi olmak üzere, her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için (bn)(b_n) dizisi
bn=a2n+1b_n = a_{2n+1}
biçiminde tanımlanıyor.
a5+b8=20a_5 + b_8 = 20
a8+b5=26a_8 + b_5 = 26
olduğuna göre, (bn)(b_n) dizisinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
  1. A
    90
  2. B
    170
  3. 80Answer
  4. D
    210
  5. E
    160

Answer

80
Verilen tanımlardan hareketle (bn)(b_n) dizisinin terimleri (an)(a_n) cinsinden ifade edildiğinde a5+a17=20a_5 + a_{17} = 20 elde edilir. İndis özellikleri kullanılarak a11=10a_{11} = 10 bulunur. İkinci denklemden a8=16a_8 = 16 ve dizinin ortak farkı r=−2r = -2 olarak bulunur. (bn)(b_n) dizisinin ilk 10 terim toplamı için sınır değerleri olan b1=a3=26b_1 = a_3 = 26 ve b10=a21=−10b_{10} = a_{21} = -10 hesaplanır. Aritmetik dizi toplam formülünden doğru yanıt 80 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
(bn)(b_n) dizisinin terimlerini (an)(a_n) dizisi cinsinden yazarak denklemleri düzenlemek.
b5=a11b_5 = a_{11} ve b8=a17b_8 = a_{17} bulunur. Buradan denklemler;
a5+a17=20a_5 + a_{17} = 20
a8+a11=26a_8 + a_{11} = 26
haline gelir.
(bn)=a2n+1(b_n) = a_{2n+1} tanımı gereği n=5n=5 için b5=a11b_5 = a_{11} ve n=8n=8 için b8=a17b_8 = a_{17} eşitlikleri elde edilir.
2
Aritmetik dizilerde indisler toplamının eşitliği özelliğini kullanarak a11a_{11} terimini bulmak.
a5+a17=2a11  ⟹  2a11=20  ⟹  a11=10a_5 + a_{17} = 2a_{11} \implies 2a_{11} = 20 \implies a_{11} = 10 elde edilir.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir (5+17=11+11=225 + 17 = 11 + 11 = 22 olduğundan a5+a17=a11+a11a_5 + a_{17} = a_{11} + a_{11}).
3
İkinci denklemde a11a_{11} değerini yerine yazarak a8a_8 terimini ve dizinin ortak farkı rr değerini bulmak.
a8+10=26  ⟹  a8=16a_8 + 10 = 26 \implies a_8 = 16 olur.
Ortak fark rr için:
a11=a8+3r  ⟹  10=16+3r  ⟹  3r=−6  ⟹  r=−2a_{11} = a_8 + 3r \implies 10 = 16 + 3r \implies 3r = -6 \implies r = -2 bulunur.
Dizinin ardışık olmayan terimleri arasındaki ilişkiyi kurarak ortak farkı elde etmek için ak=ap+(k−p)ra_k = a_p + (k-p)r bağıntısı kullanılır.
4
(bn)(b_n) dizisinin ilk terimi b1b_1 ve 10. terimi b10b_{10} değerlerini hesaplamak.
b1=a3=a11−8r=10−8(−2)=26b_1 = a_3 = a_{11} - 8r = 10 - 8(-2) = 26
b10=a21=a11+10r=10+10(−2)=−10b_{10} = a_{21} = a_{11} + 10r = 10 + 10(-2) = -10 bulunur.
(bn)(b_n) dizisinin terimlerinin toplamını bulmak için sınır değerleri olan ilk ve son terimleri (an)(a_n) dizisi üzerinden hesaplarız.
5
Aritmetik dizi toplam formülünü uygulayarak (bn)(b_n) dizisinin ilk 10 teriminin toplamını hesaplamak.
S10′=102(b1+b10)=5(26−10)=5⋅16=80S'_{10} = \frac{10}{2} (b_1 + b_{10}) = 5(26 - 10) = 5 \cdot 16 = 80 elde edilir.
İlk terimi ve son terimi bilinen bir aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) formülü ile bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ortak fark hesabı ve ilk n terim toplamı formülü
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic