Bir a parametresi için, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = (x-3)^2 \cdot |x-a| … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

a

parametresi için, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = (x-3)^2 \cdot |x-a|

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı

7

olarak verilmiştir.

Buna göre, $a$ sayısının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

9/5

Fonksiyonun her yerde sürekli ve negatif olmayan (

f(x) \ge 0

) yapısı incelendiğinde,

x=3

x=a

noktalarında sıfır değerini alarak yerel minimum yaptığı görülür. Ayrıca iki minimum noktası arasında fonksiyonun türevinin sıfır olduğu

x = \frac{2a+3}{3}

noktası yerel maksimumdur. Bu üç apsisin toplamı

7

değerine eşitlenerek

a = \frac{9}{5}

bulunur.

Fonksiyonun genel yapısını inceleyip köklerdeki yerel ekstremum durumunu belirleme

f(x) = (x-3)^2 |x-a|

fonksiyonu her

x

gerçel sayısı için

f(x) \ge 0

değerini alır. Fonksiyonu sıfır yapan

x = 3

x = a

noktalarında fonksiyon mutlak minimum değerine (yani sıfıra) ulaşır. Bu nedenle,

x = 3

x = a

noktaları kesinlikle birer yerel minimum noktasıdır.

Bir fonksiyon sürekli olduğu bir noktada çevre komşuluğuna göre en küçük değeri alıyorsa, o nokta yerel minimum noktasıdır.

Türevlenebilir olduğu bölgelerde türev hesabı yaparak diğer ekstremum noktalarını bulma

x \neq a

için fonksiyonun türevi alınırsa;

x > a

için

f'(x) = (x-3)(3x-2a-3)

x < a

için

f'(x) = -(x-3)(3x-2a-3)

bulunur. Buradan t��revi sıfır yapan diğer kritik nokta

x = \frac{2a+3}{3}

olarak belirlenir. Bu nokta, fonksiyonun artanlıktan azalanlığa geçtiği yerel maksimum noktasıdır.

Türevin işaret değiştirdiği iç noktalar fonksiyonun yön değiştirdiği ekstremum noktalarını verir.

Apsisler toplamı eşitliğini kurarak bilinmeyen parametreyi çekme

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri sırasıyla

3

a

\frac{2a+3}{3}

noktalarıdır. Bunların toplamı:

3 + a + \frac{2a+3}{3} = 7 \implies a + \frac{2a+3}{3} = 4 \implies 5a + 3 = 12 \implies a = \frac{9}{5}

olarak hesaplanır.

Soruda verilen ekstremum noktalarının apsisleri toplamının 7 olması bilgisini kullanmak amacıyla.

Bulunan parametre değerinin aralık tutarlılığını kontrol etme

a = 1.8

için ekstremum noktaları

1.8

2.2

3

olur.

1.8 < 2.2 < 3

koşulu sağlandığı için yerel maksimum noktası gerçekten de iki yerel minimum noktası arasında yer alır ve çözüm tutarlıdır.

Mutlak değer işaretinin açıldığı aralıkların doğruluğunu teyit etmek amacıyla.

Türevlenebilen ve türevlenemeyen sürekli fonksiyonlarda yerel ekstremum noktalarının analizi

Question