Examkin

Question

Difficulty: EasyYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f(x)=14x4−2x2f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
  1. 0Answer
  2. B
    2
  3. C
    -2
  4. D
    4
  5. E
    -4

Answer

0
Verilen fonksiyonun birinci türevi hesaplandığında kökleri −2-2, 00 ve 22 olarak elde edilir. İşaret tablosu incelendiğinde, sıfır noktasından geçerken türevin işareti pozitiften negatife değiştiği için bu nokta fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
f′(x)=4⋅14x3−2⋅2x=x3−4xf'(x) = 4 \cdot \frac{1}{4}x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevi hesaplanır.
2
Türevi sıfıra eşitleyen kritik noktaları (kökleri) bulalım.
x3−4x=0  ⟹  x(x2−4)=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0x^3 - 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0 Buradan kökler x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum noktas��nı belirleyelim.
f′(x)f'(x) ifadesinin başkatsayısı pozitif olduğundan tabloya en sağdan ++ ile başlanır:
- x>2x > 2 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan)
- 0<x<20 < x < 2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan)
- −2<x<0-2 < x < 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan)
- x<−2x < -2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan)

Bu durumda:
- −2-2 noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum,
- Sıfır noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum,
- 22 noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum vardır.
Türevin işaretinin pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel maksimum noktalarında birinci türevi sıfırdır ve türevin işareti bu noktalardan geçerken pozitiften negatife değişir.
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic