Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve x = 0 noktasında türevlenebilir f ve g fonksiyonları i… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve $x = 0$ noktasında türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için $f(0) = g(0) = 0$ ve $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in \mathbb{R}$ 'dir. Buna göre, $L = \frac{f'(0)}{g'(0)}$ eşitliği her zaman sağlanır.

Answer: Answer

Answer

Verilen önerme yanlıştır.

Önerme yanlıştır çünkü paydanın türevinin sıfır olduğu durumlarda limit mevcut olsa bile türevler oranı tanımsız kalır.

Step-by-Step Solution

Eşitliğin her iki tarafının tanımlılık durumunu incelemek.

g'(0) = 0

olması durumunda

\frac{f'(0)}{g'(0)}

ifadesinin paydası sıfır olacağından bu oran tanımsız olur.

Bir eşitliğin her zaman sağlanması için ifadenin her iki tarafının da tanımlı olması gerekir.

Limitin var olduğu ancak türevler oranının tanımsız olduğu bir karşıt örnek oluşturmak.

f(x) = x^2

g(x) = x^2

seçildiğinde,

x \to 0

iken limit değeri

\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1

olur.

Karşıt örnek yöntemiyle önermenin genel geçerliliğini test etmek.

Seçilen fonksiyonların türevlerini sıfır noktasında hesaplamak.

f'(x) = 2x \implies f'(0) = 0

g'(x) = 2x \implies g'(0) = 0

olur.

Karşıt örnekteki fonksiyonların

x = 0

noktasındaki türev değerlerini belirlemek.

Eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek.

L = 1

iken

\frac{f'(0)}{g'(0)} = \frac{0}{0}

tanımsızlığı oluşur ve

1 \neq \text{tanımsız}

olduğundan eşitlik sağlanmaz.

Elde edilen değerleri önermede yerine koyarak doğruluğunu denetlemek.

Key Concept

Türevlenebilir fonksiyonların limitlerinde

0/0

belirsizliği çözülürken paydanın türevinin limit noktasındaki değerinin sıfır olabilmesi durumu ve limitin türev tanımıyla ilişkisi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic