Examkin

Question

Difficulty: MediumLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
lim⁡x→π21−sin⁡3xcos⁡2x\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin^3 x}{\cos^2 x}

limitinin değeri kaçtır?

  1. A
    −32-\frac{3}{2}
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. C
    11
  4. 32\frac{3}{2}Answer
  5. E
    33

Answer

32\frac{3}{2}
Verilen limit işleminde x=π2x = \frac{\pi}{2} yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Paydadaki cos⁡2x\cos^2 x terimi 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x şeklinde yazılıp iki kare farkı olarak, paydaki 1−sin⁡3x1 - \sin^3 x terimi ise iki küp farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak (1−sin⁡x)(1 - \sin x) çarpanları sadeleştirildikten sonra belirsizlik ortadan kalkar ve kalan ifadede değişken yerine yazıldığında doğru limit değeri olan 32\frac{3}{2} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Limit noktası olan x=π2x = \frac{\pi}{2} değeri ifadede yerine yazılarak belirsizlik durumu kontrol edilir.
x→π2x \to \frac{\pi}{2} için sin⁡x→1\sin x \to 1 ve cos⁡x→0\cos x \to 0 olur. Dolayısıyla pay 1−13=01 - 1^3 = 0 ve payda 02=00^2 = 0 olup 00\frac{0}{0} belirsizliği mevcuttur.
Limit hesaplamasında ilk adım olarak belirsizliğin türünü tespit etmek gerekir.
2
Paydadaki cos⁡2x\cos^2 x ifadesi yerine sin⁡x\sin x cinsinden eşiti olan 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x yazılır, ardından pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılır.
Paydadaki ifade cos⁡2x=1−sin⁡2x=(1−sin⁡x)(1+sin⁡x)\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x) ve paydaki ifade 1−sin⁡3x=(1−sin⁡x)(1+sin⁡x+sin⁡2x)1 - \sin^3 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x + \sin^2 x) şeklinde yazılır.
Belirsizliği yaratan ortak çarpanı (1−sin⁡x1 - \sin x) sadeleştirebilmek amacıyla çarpanlara ayırma yapılır.
3
Ortak olan 1−sin⁡x1 - \sin x çarpanları sadeleştirilir ve geriye kalan ifadenin limit değeri hesaplanır.
lim⁡x→π2(1−sin⁡x)(1+sin⁡x+sin⁡2x)(1−sin⁡x)(1+sin⁡x)=lim⁡x→π21+sin⁡x+sin⁡2x1+sin⁡x=1+1+121+1=32\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x + \sin^2 x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x + \sin^2 x}{1 + \sin x} = \frac{1 + 1 + 1^2}{1 + 1} = \frac{3}{2} bulunur.
Sadeleşme sonrasında belirsizlik ortadan kalktığı için doğrudan yerine koyma yöntemi uygulanabilir.

Key Concept

0/0 belirsizliği içeren trigonometrik limitlerde, temel trigonometrik özdeşlikler kullanılarak tüm ifadeler aynı değişkene çevrilir ve cebirsel çarpanlara ayırma yöntemleriyle belirsizliğe yol açan ortak çarpanlar sadeleştirilir.
Rate this question

Topics

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

More questions from this topic