Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
aa bir pozitif tam sayı olmak üzere,
x2−ax+a+3≤0x^2 - ax + a + 3 \leq 0
eşitsizliğini sağlayan en az bir xx gerçel sayısı olduğuna göre, aa sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Answer: 6

Answer

Eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunabilmesi için ifadenin diskriminantının sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir. Buradan elde edilen a2−4a−12≥0a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinin pozitif tam sayılardaki en küçük çözümü 6 olarak bulunur.
Verilen ikinci dereceden eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunması için ifadenin diskriminantı sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Δ=a2−4a−12≥0\Delta = a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinden aa değerleri (−∞,−2]∪[6,∞)(-\infty, -2] \cup [6, \infty) aralığında bulunur. Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan en küçük aa değeri 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin çözüm kümesinin boş küme olmaması için gereken diskriminant koşulunu belirleme
Δ≥0\Delta \geq 0 olmalıdır.
Başkatsayısı pozitif olan bir parabolün negatif veya s��fır değerini alabilmesi, xx eksenini kesmesi ya da teğet olması ile mümkündür.
2
Diskriminantı aa değişkeni cinsinden hesaplama
Δ=a2−4a−12\Delta = a^2 - 4a - 12
ax2+bx+cax^2 + bx + c yapısında Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır.
3
Diskriminant eşitsizliğini çözerek aa için uygun aralıkları bulma
a≤−2a \leq -2 veya a≥6a \geq 6
(a−6)(a+2)≥0(a - 6)(a + 2) \geq 0 eşitsizliğinin işaret tablosu oluşturulur.
4
Pozitif tam sayı şartını sağlayan en küçük aa değerini bulma
6
a≥6a \geq 6 aralığındaki en küçük pozitif tam sayı 6'dır.

Key Concept

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesinin varlığı için diskriminant analizi
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

More questions from this topic