Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−3x≤a(x−3)x^2 - 3x \le a(x - 3)
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre;
I. a=3a = 3 ise eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
II. a>3a > 3 ise eşitsizliği sağlayan en küçük xx tam sayısı 3'tür.
III. a=0a = 0 ise eşitsizliği sağlayan 4 farklı xx tam sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. I, II ve IIIAnswer

Answer

I, II ve III öncüllerinin tamamı doğrudur.
Doğru cevap tüm öncüllerin doğru olduğu seçenektir. Çarpanlarına ayrılmış hali (x-3)(x-a) <= 0 olan eşitsizlikte: a=3 için çift katlı kök oluşur ve çözüm kümesi tek elemanlıdır; a > 3 için çözüm aralığı [3, a] olup en küçük tam sayı 3'tür; a=0 için çözüm aralığı [0, 3] olup bu aralıkta 4 farklı tam sayı vardır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliği standart form olan f(x) <= 0 biçimine getirmek için tüm terimleri sol tarafta toplayalım.
x2−3x−a(x−3)≤0  ⟹  x(x−3)−a(x−3)≤0  ⟹  (x−3)(x−a)≤0x^2 - 3x - a(x - 3) \le 0 \implies x(x-3) - a(x-3) \le 0 \implies (x-3)(x-a) \le 0 elde edilir.
İkinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesi yapılabilmesi için öncelikle çarpanlarına ayrılması ve köklerinin bulunması gerekir.
2
I. öncülü inceleyelim: a = 3 durumunu ele alalım.
(x−3)(x−3)≤0  ⟹  (x−3)2≤0(x-3)(x-3) \le 0 \implies (x-3)^2 \le 0 olur. Bir gerçel sayının karesi negatif olamayacağından, bu eşitsizliği sağlayan tek değer x=3x = 3'tür. Çözüm kümesi {3} olup tek elemanlıdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Çift katlı köklerde ifadenin işareti kökten geçerken değişmez ve sıfıra eşitlik durumu tek noktada sağlanır.
3
II. öncülü inceleyelim: a > 3 durumunu ele alalım.
Eşitsizliğin kökleri 3 ve a olup, a > 3 olduğundan kökler tablosu oluşturulduğunda çözüm kümesi [3, a] kapalı aralığı olur. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 3'tür. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Baş katsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir ifadenin kökleri arasında negatif değerler aldığı bilinmektedir.
4
III. öncülü inceleyelim: a = 0 durumunu ele alalım.
(x−3)(x−0)≤0  ⟹  x(x−3)≤0(x-3)(x-0) \le 0 \implies x(x-3) \le 0 olur. Kökler 0 ve 3 olup, çözüm kümesi [0, 3] kapalı aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 0, 1, 2, 3 olmak üzere 4 tanedir. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.
Kapalı aralıktaki tam sayıların adedi, sınır değerlerin dahil olduğu duruma göre sayılır.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çarpanlara ayrılması, köklerinin bulunması, parametreye göre işaret tablosunun oluşturulması ve çift katlı kök analizi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi