Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f(x)=∣x2−3x∣−2xf(x) = |x^2 - 3x| - 2x

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    −72-\frac{7}{2}
  2. B
    14\frac{1}{4}
  3. −234-\frac{23}{4}Answer
  4. D
    -6
  5. E
    54\frac{5}{4}

Answer

Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı -23/4'tür.
Doğru cevap, fonksiyonun tüm yerel ekstremum noktalarının belirlenerek y-değerlerinin doğru bir şekilde toplanmasıyla elde edilen -23/4 değeridir. Bu süreçte fonksiyon parçalı olarak yazılmış, kritik noktalarda türevin yön değişimi analiz edilmiş ve yerel minimum noktaları ile yerel maksimum noktasının ordinatları toplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonu mutlak değerin tanımına göre parçalı fonksiyon biçiminde yazın.
x2−3x≥0  ⟹  x≤0x^2 - 3x \geq 0 \implies x \le 0 veya x≥3x \ge 3 için f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x; 0<x<30 < x < 3 için f(x)=−x2+xf(x) = -x^2 + x olarak bulunur.
Mutlak değerli ifadelerin türev ve yön analizi yapılmadan önce kritik noktalara göre parçalanması gerekir.
2
Parçalı fonksiyonun her bir aralıktaki türevini alarak işaret tablosunu oluşturun.
x<0x < 0 veya x>3x > 3 için f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5; 0<x<30 < x < 3 için f′(x)=−2x+1f'(x) = -2x + 1 olur. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökü x=1/2x = 1/2 olup 0<x<30 < x < 3 aral��ğındadır. x=5/2x = 5/2 ise tanım dışıdır.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret değişimine göre yerel minimum ve maksimum noktalarını belirleyin.
x=0x = 0 ve x=3x = 3 noktalarında türev işareti eksiden artıya geçtiği için yerel minimum; x=1/2x = 1/2 noktas��nda artıdan eksiye geçtiği için yerel maksimum vardır.
Bir noktada türevin (veya fonksiyonun yönünün) eksi değerlerden artı değerlere geçmesi yerel minimumu, artıdan eksiye geçmesi yerel maksimumu belirtir.
4
Belirlenen yerel ekstremum noktalarının ordinatlarını (y-değerlerini) hesaplay��n ve toplayın.
f(0)=0f(0) = 0, f(3)=−6f(3) = -6, f(1/2)=1/4f(1/2) = 1/4 olup, ordinatlar toplamı 0+1/4−6=−23/40 + 1/4 - 6 = -23/4 olarak bulunur.
Soru yerel ekstremum noktalarının apsislerini değil, ordinatlarının toplamını istemektedir.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının parçalı ve mutlak değerli fonksiyonlar üzerinde türev ve yön değişimi yardımıyla belirlenmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic