x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere, \begin{aligned} a &= \sin x +… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre;

a

b

c

değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama c, a, b şeklindedir.

Verilen aralıkta terimlerin değer aralıkları sırasıyla

c \in (0, 0,5)

a \in (1, \sqrt{2})

b \in (2, \infty)

olarak belirlenir. Bu aralıkların karşılaştırılması sonucunda doğru sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla

c

a

b

şeklindedir.

c

ifadesinin değer aralığını bulmak için yarım açı formülü kullanılır.

c = \frac{\sin 2x}{2}

olur.

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

ise

2x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olur. İkinci bölgede sinüs pozitif olduğundan

0 < \sin 2x < 1

aralığındadır. Buradan

0 < c < 0,5

elde edilir.

Çarpım durumundaki ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyona dönüştürmek sınır analizini kolaylaştırır.

a

ifadesinin sınırlarını belirlemek için ifadenin karesi alınır.

a^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x

elde edilir.

0 < \sin 2x < 1

aralığında olduğundan

1 < a^2 < 2

olur. Karekök alındığında ise

1 < a < \sqrt{2}

aralığı bulunur.

Toplam şeklindeki sinüs ve kosinüs ifadelerinin değer aralığı kare alma yöntemiyle tespit edilebilir.

b

ifadesi temel özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilir.

b = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}

bulunur.

0 < \sin 2x < 1

olduğundan

b > 2

elde edilir.

Tanjant ve kotanjant toplamını sinüs cinsinden tek bir rasyonel ifadeye dönüştürmek sınır değerini bulmayı sağlar.

Elde edilen üç değer aralığı karşılaştırılarak sıralama tamamlanır.

c \in (0, 0,5)

a \in (1, \sqrt{2})

b \in (2, \infty)

olduğundan sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Değer aralıkları ayrık kümeler oluşturduğu için kesin bir sıralama yapılabilir.

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Estimated Time:2m 0s

Question