Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f:R∖{−1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1\} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x)=x2−3xx+1f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

  1. A
    -10
  2. B
    -3
  3. -2Answer
  4. D
    2
  5. E
    3

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı -2'dir.
Doğru seçenekte belirtilen -2 değeri, fonksiyonun tanımlı olduğu ve türevinin işaret değiştirdiği x = -3 ve x = 1 yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=(2x−3)(x+1)−(x2−3x)(1)(x+1)2=2x2−x−3−x2+3x(x+1)2=x2+2x−3(x+1)2f'(x) = \frac{(2x-3)(x+1) - (x^2-3x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 - x - 3 - x^2 + 3x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle birinci türevi hesaplamamız gerekir.
2
Türevin payını sıfır yapan kritik noktalar bulunur.
x2+2x−3=0  ⟹  (x+3)(x−1)=0  ⟹  x=−3 veya x=1x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0 \implies x = -3 \text{ veya } x = 1
Türevin sıfır olduğu noktalar, fonksiyonun yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur ve yerel ekstremum noktaları belirlenir.
Paydadaki (x+1)2(x+1)^2 ifadesi x≠−1x \neq -1 için daima pozitif olduğundan, türevin işareti payın işaretine bağlıdır. x=−1x = -1 çift katlı kök olup fonksiyon bu noktada tanımsızdır. İşaret tablosu incelendiğinde; x=−3x = -3 noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum, x=1x = 1 noktasında ise türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum noktası vardır.
Bir kritik noktanın yerel ekstremum noktası olması için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir.
4
Bulunan yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplanır.
−3+1=−2-3 + 1 = -2
Soruda bizden yerel ekstremum noktalar��nın apsislerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonların yerel ekstremum noktalarının türev yardımıyla bulunması ve paydanın köklerinin ekstremum noktası olamayacağının belirlenmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic