Examkin

Question

Difficulty: MediumBasit Olayların Olasılığı

Bir torbada üzerinde 11'den 1212'ye kadar olan tam sayıların yazılı olduğu 1212 kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele seçilen iki farklı kartın üzerinde yazan sayıların toplamının, bu sayıların çarpımını tam bölme olasılığı 1x\frac{1}{x} olduğuna göre, xx değeri kaçtır?

Answer: 22

Answer

İki kartın üzerinde yazan sayıların toplamının çarpımlarını tam bölme olasılığı 122\frac{1}{22} olduğundan, xx değeri 22'dir.
Seçilebilecek tüm iki elemanlı alt kümelerin sayısı 66'dır. Koşulu sağlayan eleman çiftleri {3,6}\{3, 6\}, {4,12}\{4, 12\} ve {6,12}\{6, 12\} olup 3 tanedir. Bu durumda olasılık 366=122\frac{3}{66} = \frac{1}{22} olur ve xx değeri 22 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tüm olası durumların sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
Torbada 12 kart olduğundan, rastgele seçilen iki farklı kartın tüm olası durum sayısı (122)=12×112=66\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 olur.
Olasılık hesabında örnek uzayın eleman sayısını (tüm durumları) belirlemek gerekir.
2
Toplamları çarpımlarını bölen uygun kart çiftlerini belirlemek.
Seçilen sayılar aa ve bb (a<ba < b) olsun. a⋅ba+b\frac{a \cdot b}{a+b} ifadesinin tam sayı olması istenir. Bu koşulu sağlayan çiftler {3,6}\{3, 6\}, {4,12}\{4, 12\} ve {6,12}\{6, 12\} olmak üzere 3 tanedir.
a+ba+b ve a⋅ba \cdot b arasındaki bölünebilme ilişkisini sağlayan sayı çiftlerini bulmak gerekir. Matematiksel olarak, a=d⋅xa = d \cdot x ve b=d⋅yb = d \cdot y (burada d=EBOB(a,b)d = \text{EBOB}(a, b) ve EBOB(x,y)=1\text{EBOB}(x, y) = 1) yazıldığında, x+yx+y toplamı dd sayısını tam bölmelidir. d=k(x+y)d = k(x+y) (k≥1k \geq 1) yazılarak b=k(x+y)y≤12b = k(x+y)y \leq 12 eşitsizliğini sağlayan çözümler incelenirse sadece bu 3 çift elde edilir.
3
İstenen olasılığı ve dolayısıyla xx değerini bulmak.
Olasılık 366=122\frac{3}{66} = \frac{1}{22} olarak bulunur. Bu değer 1x\frac{1}{x} ifadesine eşitlendiğinde x=22x = 22 elde edilir.
İstenen durum sayısını tüm durum sayısına bölerek basit olayların olasılığı kuralını uygulamak ve sorulan xx değişkenini çekmek.

Key Concept

Bir örnek uzayda tanımlı basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranı ile hesaplanır.
Rate this question

Topics

Basit Olayların Olasılığı

More questions from this topic