Examkin

Question

Difficulty: MediumParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Tepe noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olan f(x)=x2−mx+nf(x) = x^2 - mx + n parabolü, y-eksenini (0,−8)(0, -8) noktasında kesmektedir. Bu parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 66 birim olduğuna göre, mm gerçel sayısı kaçtır?

Answer: 2

Answer

Parabolün tepe noktası dördüncü bölgede yer aldığından tepe noktasının apsisi pozitif olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve kökler arasındaki uzaklığı 6 birim yapan m değeri 2 olarak bulunur.
Parabolün y-eksenini kestiği koordinattan n = -8 değeri saptanır. Kökler arasındaki uzaklık bağıntısından m^2 = 4 denklemine ulaşılır. Tepe noktasının dördüncü bölgede bulunması koşulu tepe noktasının apsisi olan r = m/2 değerinin pozitif olmasını gerektirdiğinden m sayısının pozitif değeri olan 2 alınmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün y-eksenini kesti��i nokta yardımıyla n değerini bulun.
n=−8n = -8
Grafiğin y-eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır. Bu durumda f(0)=−8f(0) = -8 olmalıdır. Fonksiyonda x=0x = 0 yazılırsa 02−m(0)+n=−80^2 - m(0) + n = -8 eşitliğinden n=−8n = -8 elde edilir.
2
x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık bağıntısını kullanarak m^2 de��erini bulun.
m2=4m^2 = 4
Parabolün x-eksenini kestiği noktaların apsisleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Bu noktalar x2−mx−8=0x^2 - mx - 8 = 0 denkleminin kökleridir. İki kök arasındaki uzaklık ∣x1−x2∣=Δ∣a∣=m2−4(1)(−8)=m2+32|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{m^2 - 4(1)(-8)} = \sqrt{m^2 + 32} şeklinde ifade edilir. Bu uzaklık 6 birim olarak verildiğinden m2+32=6⇒m2+32=36⇒m2=4\sqrt{m^2 + 32} = 6 \Rightarrow m^2 + 32 = 36 \Rightarrow m^2 = 4 bulunur.
3
Tepe noktasının koordinat bölgesini inceleyerek m değerini netleştirin.
m=2m = 2
m2=4m^2 = 4 eşitliğinden m=2m = 2 veya m=−2m = -2 değerleri elde edilir. Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2a=m2r = -\frac{b}{2a} = \frac{m}{2} formülü ile hesaplanır. Tepe noktasının dördüncü bölgede olması için apsisinin pozitif (r>0r > 0) olması gerekir. Buradan m2>0⇒m>0\frac{m}{2} > 0 \Rightarrow m > 0 olmalıdır. Dolayısıyla m=2m = 2 bulunur.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktaların analitik hesabı ve tepe noktası özellikleri
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic