Examkin

Question

Difficulty: Very hardSinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb ve cc olmak üzere, bu üçgenin kenarları ve açıları arasında

a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc
sin⁡(B^)sin⁡(C^)=3+1\frac{\sin(\widehat{B})}{\sin(\widehat{C})} = \sqrt{3} + 1

bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, CC açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. 15Answer
  2. B
    30
  3. C
    45
  4. D
    60
  5. E
    75

Answer

C açısının ölçüsü 15 derecedir.
Kosinüs Teoremi ile tepe açısı 120 derece olarak bulunur. İç açılar toplamından diğer iki açının toplamı 60 derece olup sinüs fark formülü yardımıyla oran kotanjanta dönüştürülür. Elde edilen kotanjant değerinden aranan açı 15 derece olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs Teoremi yardımıyla tepe açısı olan A açısının değerini belirleyin.
a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A}) Kosinüs Teoremi formülü ile soruda verilen a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc eşitliği karşılaştırıldığında −2cos⁡(A^)=1  ⟹  cos⁡(A^)=−12-2\cos(\widehat{A}) = 1 \implies \cos(\widehat{A}) = -\frac{1}{2} elde edilir. Buradan üçgenin geniş açısı m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ bulunur.
Üçgenin bir iç açısını belirleyerek diğer iç açılar olan B ve C arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
Üçgenin iç açılar toplamını kullanarak B açısını C cinsinden ifade edin.
m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘  ⟹  120∘+B+C=180∘  ⟹  B+C=60∘m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \implies 120^\circ + B + C = 180^\circ \implies B + C = 60^\circ olur. Buradan B=60∘−CB = 60^\circ - C elde edilir.
İki bilinmeyenli açıyı tek bilinmeyenli açıya indirgemek.
3
Sinüs fark formülünü uygulayarak sin(B) ifadesini C cinsinden açın.
sin⁡(B)=sin⁡(60∘−C)=sin⁡60∘cos⁡C−cos⁡60∘sin⁡C=32cos⁡C−12sin⁡C\sin(B) = \sin(60^\circ - C) = \sin 60^\circ \cos C - \cos 60^\circ \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos C - \frac{1}{2}\sin C olarak yazılır.
Verilen sinüs oranını tek bir trigonometrik fonksiyon olan kotanjant cinsinden ifade edebilmek.
4
Verilen sinüsler oranını kullanarak kotanjant değerini elde edin.
sin⁡Bsin⁡C=32cos⁡C−12sin⁡Csin⁡C=32cot⁡C−12\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C - \frac{1}{2}\sin C}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cot C - \frac{1}{2} elde edilir. Bu ifadeyi verilen 3+1\sqrt{3} + 1 değerine eşitlersek: 32cot⁡C−12=3+1  ⟹  32cot⁡C=3+32  ⟹  cot⁡C=2+3\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C - \frac{1}{2} = \sqrt{3} + 1 \implies \frac{\sqrt{3}}{2}\cot C = \sqrt{3} + \frac{3}{2} \implies \cot C = 2 + \sqrt{3} bulunur.
C açısının ölçüsüne ulaşmak için kotanjant değerini bulmak.
5
Kotanjant değeri bilinen dar açının ölçüsünü belirleyin.
cot⁡15∘=2+3\cot 15^\circ = 2 + \sqrt{3} olduğu bilindiğinden, m(C^)=15∘m(\widehat{C}) = 15^\circ olarak elde edilir.
Kotanjantı verilen değere eşit olan açıyı derece cinsinden bulmak.

Key Concept

Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin Trigonometrik Fark Özdeşlikleri ile Ortak Çözümü
Rate this question

Topics

Sinüs Teoremi

More questions from this topic