Examkin

Sinüs Teoremi

28 questions

All types28Multiple choice15Numeric13
Question 1Question →

Bir ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir.

Bu üçgenin aa kenar uzunluğu ile AA açısı arasında,
2R⋅cos⁡(90∘+A)+4a=302R \cdot \cos(90^\circ + A) + 4a = 30
eşitliği geçerli olduğuna göre, aa kaç birimdir?
Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10
Trigonometrik indirgeme kurallarına göre cos⁡(90∘+A)=−sin⁡A\cos(90^\circ + A) = -\sin A olur. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında −2Rsin⁡A+4a=30-2R\sin A + 4a = 30 elde edilir. Sinüs Teoremi gereğince bir üçgende 2Rsin⁡A=a2R\sin A = a bağıntısı mevcut olduğundan, denklem −a+4a=30-a + 4a = 30 şeklini alır. Buradan 3a=303a = 30 ve a=10a = 10 birim olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 10'dur.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik indirgeme kuralı uygulanır.
cos⁡(90∘+A)=−sin⁡A\cos(90^\circ + A) = -\sin A
Koordinat sisteminin ikinci bölgesinde kosinüs fonksiyonu negatif değer alır ve 90∘90^\circ açısı kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek sinüse dönüşür.
2
Elde edilen ifade verilen denklemde yerine yazılır.
−2R⋅sin⁡A+4a=30-2R \cdot \sin A + 4a = 30
Denklemi tek değişkenli hale getirmek için indirgenmiş trigonometrik ifade yerine konur.
3
Sinüs Teoremi bağıntısı denklemde yerine yazılır.
−a+4a=30-a + 4a = 30
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende a=2Rsin⁡Aa = 2R \sin A eşitliği geçerlidir.
4
Denklem çözülerek kenar uzunluğu bulunur.
3a=30  ⟹  a=103a = 30 \implies a = 10
Benzer terimler toplanarak bilinmeyen kenar uzunluğu yalnız bırakılır.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme
Question 2Question →

Bir ABCABC üçgeninde, [AD][AD] doğru parçası AA açısının açıortayıdır. ABDABD üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R1=3R_1 = \sqrt{3} birim, ACDACD üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R2=23R_2 = 2\sqrt{3} birim ve AD=23AD = 2\sqrt{3} birimdir. Buna g��re, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

3
Sinüs Teoremi iki farklı alt üçgende (ABDABD ve ACDACD) uygulanarak önce üçgenin iç açıları (B=90∘B = 90^\circ, C=30∘C = 30^\circ ve A=60∘A = 60^\circ) belirlenir. Ardından açıortay özelliği ve Sinüs Teoremi kullanılarak BCBC kenar uzunluğu 333\sqrt{3} olarak hesaplanır. Son adımda, ana üçgende Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı R=3R = 3 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak BB açısı bulunur.
sin⁡B=1  ⟹  m(B^)=90∘\sin B = 1 \implies m(\widehat{B}) = 90^\circ
ABDABD üçgeninde ADsin⁡B=2R1\frac{AD}{\sin B} = 2R_1 eşitliğinden sin⁡B=2323=1\sin B = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1 elde edilir.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak CC açısı bulunur.
sin⁡C=12  ⟹  m(C^)=30∘\sin C = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{C}) = 30^\circ
ACDACD üçgeninde ADsin⁡C=2R2\frac{AD}{\sin C} = 2R_2 eşitliğinden sin⁡C=2343=12\sin C = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2} elde edilir. BB açısı dik açı olduğundan CC açısı dar açı olmalıd��r, dolayısıyla m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ olur.
3
ABCABC üçgeninin iç açılar toplamından AA açısı bulunur.
m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ
ABCABC üçgeninde iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğundan, m(BAC^)=180∘−(90∘+30∘)=60∘m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ bulunur.
4
ADAD açıortay olduğundan ve Sinüs Teoremi yardımıyla BDBD ve CDCD uzunlukları bulunur.
BC=33BC = 3\sqrt{3} birim
ADAD açıortay olduğu için m(BAD^)=m(CAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) = 30^\circ olur. ABDABD üçgeninde BDsin⁡30∘=2R1  ⟹  BD=23⋅12=3\frac{BD}{\sin 30^\circ} = 2R_1 \implies BD = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} ve ACDACD üçgeninde CDsin⁡30∘=2R2  ⟹  CD=43⋅12=23\frac{CD}{\sin 30^\circ} = 2R_2 \implies CD = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} elde edilir. Buradan BC=BD+CD=33BC = BD + CD = 3\sqrt{3} birim bulunur.
5
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı RR bulunur.
R=3R = 3 birim
ABCABC üçgeninde BCsin⁡A=2R  ⟹  33sin⁡60∘=2R  ⟹  3332=2R  ⟹  6=2R  ⟹  R=3\frac{BC}{\sin A} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \implies 6 = 2R \implies R = 3 elde edilir.

Key Concept

Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı çevrel çemberin çapına (2R2R) eşittir.
Question 3Question →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb ve cc olmak üzere, bu üçgenin kenarları ve açıları arasında

a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc
sin⁡(B^)sin⁡(C^)=3+1\frac{\sin(\widehat{B})}{\sin(\widehat{C})} = \sqrt{3} + 1

bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, CC açısının ölçüsü kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

C açısının ölçüsü 15 derecedir.
Kosinüs Teoremi ile tepe açısı 120 derece olarak bulunur. İç açılar toplamından diğer iki açının toplamı 60 derece olup sinüs fark formülü yardımıyla oran kotanjanta dönüştürülür. Elde edilen kotanjant değerinden aranan açı 15 derece olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs Teoremi yardımıyla tepe açısı olan A açısının değerini belirleyin.
a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A}) Kosinüs Teoremi formülü ile soruda verilen a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc eşitliği karşılaştırıldığında −2cos⁡(A^)=1  ⟹  cos⁡(A^)=−12-2\cos(\widehat{A}) = 1 \implies \cos(\widehat{A}) = -\frac{1}{2} elde edilir. Buradan üçgenin geniş açısı m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ bulunur.
Üçgenin bir iç açısını belirleyerek diğer iç açılar olan B ve C arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
Üçgenin iç açılar toplamını kullanarak B açısını C cinsinden ifade edin.
m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘  ⟹  120∘+B+C=180∘  ⟹  B+C=60∘m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \implies 120^\circ + B + C = 180^\circ \implies B + C = 60^\circ olur. Buradan B=60∘−CB = 60^\circ - C elde edilir.
İki bilinmeyenli açıyı tek bilinmeyenli açıya indirgemek.
3
Sinüs fark formülünü uygulayarak sin(B) ifadesini C cinsinden açın.
sin⁡(B)=sin⁡(60∘−C)=sin⁡60∘cos⁡C−cos⁡60∘sin⁡C=32cos⁡C−12sin⁡C\sin(B) = \sin(60^\circ - C) = \sin 60^\circ \cos C - \cos 60^\circ \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos C - \frac{1}{2}\sin C olarak yazılır.
Verilen sinüs oranını tek bir trigonometrik fonksiyon olan kotanjant cinsinden ifade edebilmek.
4
Verilen sinüsler oranını kullanarak kotanjant değerini elde edin.
sin⁡Bsin⁡C=32cos⁡C−12sin⁡Csin⁡C=32cot⁡C−12\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C - \frac{1}{2}\sin C}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cot C - \frac{1}{2} elde edilir. Bu ifadeyi verilen 3+1\sqrt{3} + 1 değerine eşitlersek: 32cot⁡C−12=3+1  ⟹  32cot⁡C=3+32  ⟹  cot⁡C=2+3\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C - \frac{1}{2} = \sqrt{3} + 1 \implies \frac{\sqrt{3}}{2}\cot C = \sqrt{3} + \frac{3}{2} \implies \cot C = 2 + \sqrt{3} bulunur.
C açısının ölçüsüne ulaşmak için kotanjant değerini bulmak.
5
Kotanjant değeri bilinen dar açının ölçüsünü belirleyin.
cot⁡15∘=2+3\cot 15^\circ = 2 + \sqrt{3} olduğu bilindiğinden, m(C^)=15∘m(\widehat{C}) = 15^\circ olarak elde edilir.
Kotanjantı verilen değere eşit olan açıyı derece cinsinden bulmak.

Key Concept

Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin Trigonometrik Fark Özdeşlikleri ile Ortak Çözümü
Question 4Question →

Bir ABCABC üçgeninde m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ, m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ ve ∣AC∣=42|AC| = 4\sqrt{2} birimdir. Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 434\sqrt{3}

Answer

İstenen uzunluk 434\sqrt{3} birimdir.
Sinüs Teoremi'ne göre kurulan ∣BC∣sin⁡(120∘)=42sin⁡(45∘)\frac{|BC|}{\sin(120^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} denkleminde bilinen değerler yerine yazılıp sadeleştirme yapıldığında doğru uzunluk 434\sqrt{3} birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sinüs Teoremi bağıntısını yazalım.
∣BC∣sin⁡(A^)=∣AC∣sin⁡(B^)\frac{|BC|}{\sin(\widehat{A})} = \frac{|AC|}{\sin(\widehat{B})}
Bir üçgende kenar uzunlukları karşılarındaki açıların sinüs değerleriyle orantılıdır.
2
Verilen değerleri bağıntıda yerlerine yerleştirelim.
∣BC∣sin⁡(120∘)=42sin⁡(45∘)\frac{|BC|}{\sin(120^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}
Soruda verilen m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ, m(B^)=45∘m(\widehat{B}) = 45^\circ ve ∣AC∣=42|AC| = 4\sqrt{2} değerlerini kullanmak için.
3
Trigonometrik değerleri hesaplayarak denklemi çözelim.
sin⁡(120∘)=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡(60∘)=32\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(45∘)=22\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}

∣BC∣32=4222⇒2∣BC∣3=8⇒∣BC∣=43\frac{|BC|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow \frac{2|BC|}{\sqrt{3}} = 8 \Rightarrow |BC| = 4\sqrt{3}
İçler dışlar çarpımı yaparak ∣BC∣|BC| uzunluğunu yalnız bırakmak için.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Geniş Açıların Sinüs Değerleri
Question 5Question →

Bir ABCABC üçgeninde, m(ABC^)=30∘m(\widehat{ABC}) = 30^\circ, m(ACB^)=45∘m(\widehat{ACB}) = 45^\circ ve ∣AC∣=6 cm|AC| = 6\text{ cm}'dir.

Buna göre, ∣AB∣|AB| uzunluğunun santimetre cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 626\sqrt{2}

Answer

626\sqrt{2}
Sinüs Teoremi'ne göre ∣AC∣sin⁡(ABC^)=∣AB∣sin⁡(ACB^)\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})} bağıntısı vardır. Burada ∣AC∣=6|AC| = 6, m(ABC^)=30∘m(\widehat{ABC}) = 30^\circ ve m(ACB^)=45∘m(\widehat{ACB}) = 45^\circ değerleri yerine konulduğunda 6sin⁡30∘=∣AB∣sin⁡45∘\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{|AB|}{\sin 45^\circ} elde edilir. sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2 ve sin⁡45∘=2/2\sin 45^\circ = \sqrt{2}/2 değerleri kullanılarak denklem çözüldüğünde ∣AB∣=62|AB| = 6\sqrt{2} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sinüs Teoremi formülünü ABCABC üçgeni için yazın.
∣AC∣sin⁡(ABC^)=∣AB∣sin⁡(ACB^)\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})}
Bir üçgende kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır.
2
Bilinen ∣AC∣=6|AC| = 6, m(ABC^)=30∘m(\widehat{ABC}) = 30^\circ ve m(ACB^)=45∘m(\widehat{ACB}) = 45^\circ değerlerini formülde yerine yerleştirin.
6sin⁡30∘=∣AB∣sin⁡45∘\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{|AB|}{\sin 45^\circ}
Bilinmeyen ∣AB∣|AB| değerini bulmak için verilen verileri teorem denklemine uygularız.
3
sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2} ve sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} değerlerini yazarak denklemi çözün.
612=∣AB∣22  ⟹  12=2∣AB∣2  ⟹  ∣AB∣=62 cm\frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \implies 12 = \frac{2|AB|}{\sqrt{2}} \implies |AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm}
Trigonometrik değerleri yerine koyup içler dışlar çarpımı yaparak ∣AB∣|AB| uzunluğunu yalnız bırakırız.

Key Concept

Sinüs Teoremi
Question 6Question →

Bir ABCABC üçgeninde, BCBC kenarının uzunluğu 12 cm12\text{ cm} ve AA açısının sinüs değeri sin⁡(A^)=04\sin(\widehat{A}) = 0{}4 olarak verilmiştir. Buna göre, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Çevrel çemberin yarıçapı 15 cm'dir.
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende 2R=asin⁡(A^)2R = \frac{a}{\sin(\widehat{A})} bağıntısı geçerlidir. Verilen a=12a = 12 ve sin⁡(A^)=04\sin(\widehat{A}) = 0{}4 değerleri formülde yerine yazıldığında 2R=1204=302R = \frac{12}{0{}4} = 30 bulunur. Buradan yarıçap R=15 cmR = 15\text{ cm} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sinüs Teoremi bağıntısını yazıp verilen değerleri yerine yerleştirmek.
2R=asin⁡(A^)2R = \frac{a}{\sin(\widehat{A})} formülünde a=12a = 12 ve sin⁡(A^)=04\sin(\widehat{A}) = 0{}4 yazılır.
Sinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunluğu ile o kenarın karşısındaki açının sinüs değeri arasındaki oranı çevrel çemberin çapına eşitler.
2
Çap değerini (2R) hesaplamak.
2R=1204=302R = \frac{12}{0{}4} = 30 elde edilir.
Kenar uzunluğu sinüs değerine bölünerek çap bulunur.
3
Çapı ikiye bölerek yarıçapı bulmak.
R=15R = 15 bulunur.
Soruda bizden çemberin çapı değil, yarıçapı (RR) istenmektedir.

Key Concept

Sinüs Teoremi yardımıyla çevrel çemberin yarıçapının bulunması.
Question 7Question →

Bir ABCABC üçgeninde, m(ACB^)=150∘m(\widehat{ACB}) = 150^\circ ve ∣AB∣=10 cm|AB| = 10\text{ cm}'dir. Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10 santimetredir.
Sinüs Teoremi'ne göre ∣AB∣sin⁡(C^)=2R\frac{|AB|}{\sin(\widehat{C})} = 2R bağıntısı vardır. ∣AB∣=10|AB| = 10 ve sin⁡(150∘)=1/2\sin(150^\circ) = 1/2 değerleri yerine yazıldığında 2R=202R = 20 bulunur. Buradan yarıçap R=10 cmR = 10\text{ cm} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Sinüs Teoremi formülünü belirleme
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R
Bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi ve çevrel çemberin yarıçapını (RR) bağlayan teorem Sinüs Teoremi'dir.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazma
10sin⁡(150∘)=2R\frac{10}{\sin(150^\circ)} = 2R
Soruda ∣AB∣=c=10 cm|AB| = c = 10\text{ cm} ve bu kenarın karşısındaki açı m(C^)=150∘m(\widehat{C}) = 150^\circ olarak verilmiştir.
3
Geniş açının sinüs değerini indirgeme formülüyle hesaplama
\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
İkinci bölgedeki bir açının sinüs değerini bulmak için bütünler açısının sinüs değeri kullanılır.
4
Bulunan sinüs değerini yerine yazarak yarıçapı (RR) yalnız bırakma
\frac{10}{\frac{1}{2}} = 2R \implies 20 = 2R \implies R = 10
Eşitliğin sol tarafındaki bölme işlemi yapıldıktan sonra her iki taraf 2'ye bölünerek yarıçap bulunur.

Key Concept

Bir üçgende Sinüs Teoremi yardımıyla çevrel çemberin yarıçapının hesaplanması.

Alternative Method

Çevrel çember çizildiğinde, 150∘150^\circ'lik çevre açının gördüğü yay 300∘300^\circ olur. Dolayısıyla geriye kalan küçük yay 60∘60^\circ olur. Bu yayı gören merkez açı da 60∘60^\circ olacaktır. Çemberin merkezi OO ise, OABOAB üçgeninde ∣OA∣=∣OB∣=R|OA| = |OB| = R (yarıçap) ve tepe açısı 60∘60^\circ olduğundan OABOAB eşkenar üçgendir. Buradan ∣AB∣=R=10 cm|AB| = R = 10\text{ cm} doğrudan bulunur.
Estimated Time:1m 0s
Question 8Question →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin iç açılarının sinüs değerleri arasında
sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B)
bağıntısı bulunmaktadır.
Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R=6R = 6 birim ve a+c=18a + c = 18 birim olduğuna göre, sin⁡(B)\sin(B) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 0.75

Answer

0.75
Sinüs Teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri doğru orantılıdir ve orantı sabiti çevrel çemberin çapı olan 2R2R değerine eşittir. Verilen sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B) eşitliğinde her bir terim yerine sırasıyla a2R\frac{a}{2R}, c2R\frac{c}{2R} ve b2R\frac{b}{2R} yazıldığında paydalar sadeleşir ve a+c=2ba + c = 2b bağıntısı elde edilir. Soruda a+c=18a + c = 18 birim olarak verildiği için 2b=18  ⟹  b=92b = 18 \implies b = 9 birim bulunur. Çevrel çemberin yarıçapı R=6R = 6 birim olduğu için b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünden 9=12sin⁡(B)  ⟹  sin⁡(B)=0.759 = 12\sin(B) \implies \sin(B) = 0.75 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Açıların sinüs değerlerini Sinüs Teoremi ile kenar uzunlukları ve çevrel çember yarıçapı cinsinden ifade etmek.
sin⁡(A)=a2R\sin(A) = \frac{a}{2R}, sin⁡(B)=b2R\sin(B) = \frac{b}{2R} ve sin⁡(C)=c2R\sin(C) = \frac{c}{2R}
Sorudaki sinüslü ifadeyi kenar uzunluklarına bağlamak için Sinüs Teoremi bağınt��sı kullanılır.
2
Elde edilen sinüs değerlerini verilen denklemde yerine yazıp sadeleştirerek kenarlar arasındaki bağıntıyı bulmak.
a+c=2ba + c = 2b
a2R+c2R=2⋅b2R\frac{a}{2R} + \frac{c}{2R} = 2 \cdot \frac{b}{2R} denkleminde her iki tarafı da 2R2R ile çarparak sadeleştirme yapılır.
3
Verilen a+c=18a + c = 18 bağıntısını kullanarak bb kenar uzunluğunu hesaplamak.
b=9b = 9 birim
a+c=2ba + c = 2b ve a+c=18a + c = 18 olduğundan, 2b=182b = 18 eşitliği elde edilir.
4
Sinüs Teoremi formülünde bb ve RR değerlerini yazarak sin⁡(B)\sin(B) değerini hesaplamak.
sin⁡(B)=0.75\sin(B) = 0.75
b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünde b=9b = 9 ve R=6R = 6 yazıldığında 9=12sin⁡(B)9 = 12\sin(B) denklemi çözülür.

Key Concept

Sinüs Teoremi kullanılarak üçgenin kenarları ile açılarının sinüsleri arasında doğru orantı kurulması.
Question 9Question →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb, cc birim ve çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir. Bu üçgenin kenarları ve açıları arasında
b2+c2−a2=−bcb^2 + c^2 - a^2 = -bc
sin⁡B⋅sin⁡C=14\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4}
bağıntıları bulunduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanının R2R^2 cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 34\frac{\sqrt{3}}{4}

Answer

Üçgenin alanının R2R^2 cinsinden değeri 34\frac{\sqrt{3}}{4} olarak bulunur.
Doğru olan değer, Kosinüs Teoremi yardımıyla tepe açısının A=120∘A = 120^\circ ve dolayısıyla sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} bulunması, ardından Sinüs Teoremi ile bc=R2bc = R^2 bağıntısının elde edilip alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilen 34\frac{\sqrt{3}}{4} değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs Teoremi kullanılarak AA açısının ölçüsünü belirleme.
a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A Kosinüs Teoremi bağıntısıdır. Soruda verilen b2+c2−a2=−bcb^2 + c^2 - a^2 = -bc ifadesi düzenlendiğinde a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc elde edilir. Bu iki eşitlik karşılaştırıldığında −2bccos⁡A=bc  ⟹  cos⁡A=−12-2bc \cos A = bc \implies \cos A = -\frac{1}{2} bulunur. ABCABC üçgeninin bir iç açısı olan AA açısı buradan 120∘120^\circ olarak belirlenir.
Üçgenin alan formülünde kullanılacak olan sin⁡A\sin A değerini elde etmek.
2
Sinüs Teoremi kullanılarak bcbc çarpımını çevrel çemberin yarıçapı RR cinsinden ifade etme.
Sinüs Teoremi gereği b=2Rsin⁡Bb = 2R \sin B ve c=2Rsin⁡Cc = 2R \sin C eşitlikleri geçerlidir. Bu iki eşitlik taraf tarafa çarpıldığında bc=4R2sin⁡Bsin⁡Cbc = 4R^2 \sin B \sin C elde edilir.
Kenar uzunlukları ile çevrel ��emberin yarıçapı arasında ilişki kurarak alan hesaplamasını yarıçap cinsinden yapabilmek.
3
Soruda verilen sinüs değerleri çarpımını yerine yazarak bcbc ifadesinin değerini bulma.
sin⁡B⋅sin⁡C=14\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4} değeri yerine yazıldığında bc=4R2⋅14=R2bc = 4R^2 \cdot \frac{1}{4} = R^2 olarak bulunur.
bcbc çarpımının değerini netleştirmek.
4
Üçgenin alan formülünü uygulayarak sonucu bulma.
Alan(ABC)=12bcsin⁡A\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} bc \sin A formülünde elde edilen değerler yerine yazılır: Alan(ABC)=12⋅R2⋅sin⁡(120∘)=12R2⋅32=34R2\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 elde edilir. Buradan alanın R2R^2 cinsinden değeri 34\frac{\sqrt{3}}{4} bulunur.
Üçgenin alanını nihai olarak hesaplamak.

Key Concept

Sinüs ve Kosinüs teoremlerinin birlikte kullanılması ile üçgen alanının çevrel çemberin yarıçapı cinsinden ifade edilmesi.
Question 10Question →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları a=5 birima = 5\text{ birim}, b=8 birimb = 8\text{ birim} ve üçgenin alanı 103 birimkare10\sqrt{3}\text{ birimkare} olarak verilmektedir.

m(ACB^)<90∘m(\widehat{ACB}) < 90^\circ ve bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olduğuna göre, R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

İstenen R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri 7'dir.
Üçgenin sinüslü alan formülü kullanılarak CC açısının sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} bulunur. Açı dar açı olduğu için 60∘60^\circ olarak belirlenir. Ardından Kosinüs Teoremi ile cc kenarı 7 birim olarak hesaplanır. Son olarak Sinüs Teoremi kullanılarak 2R=csin⁡(C)2R = \frac{c}{\sin(C)} bağıntısından çevrel çemberin yarıçapı R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} elde edilir ve buradan R3=7R\sqrt{3} = 7 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenin alan formülünü uygulayarak CC açısının sinüs değerini hesaplama.
sin⁡(ACB^)=32\sin(\widehat{ACB}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
Bir üçgenin alanı, iki kenarı ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
2
CC açısının dar açı olma koşuluna göre açının ölçüsünü derece cinsinden bulma.
m(ACB^)=60∘m(\widehat{ACB}) = 60^\circ
0∘<ACB^<90∘0^\circ < \widehat{ACB} < 90^\circ aralığında sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.
3
Kosinüs Teoremini uygulayarak cc kenarının uzunluğunu bulma.
c=7c = 7 birim
c2=a2+b2−2abcos⁡(ACB^)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{ACB}) formülünde bilinenler yerine yazılarak c2=25+64−2(5)(8)cos⁡(60∘)=89−40=49c^2 = 25 + 64 - 2(5)(8)\cos(60^\circ) = 89 - 40 = 49 elde edilir.
4
Sinüs Teoremini uygulayarak çevrel çemberin yarıçapı RR değerini ve R3R\sqrt{3} ifadesini hesaplama.
R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} ve R3=7R\sqrt{3} = 7
Sinüs Teoremine göre csin⁡(ACB^)=2R\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})} = 2R bağıntısı geçerlidir.

Key Concept

Sinüs Teoremi, Kosinüs Teoremi ve Sinüslü Alan Formülünün bir arada kullanılması.
Question 11Question →
Bir ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir. Bu üçgenin iç bölgesinde alınan bir PP noktası için
m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ
m(BPC^)=150∘m(\widehat{BPC}) = 150^\circ
olarak veriliyor.

PBCPBC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı rr birim olduğuna göre, Rr\frac{R}{r} oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 33\frac{\sqrt{3}}{3}

Answer

R/roranı33olarakbulunur.R/r oranı \frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur.
Sinüs Teoremi gereğince, ortak olan BC kenarının uzunluğu hem 2R⋅sin⁡(120∘)2R \cdot \sin(120^\circ) hem de 2r⋅sin⁡(150∘)2r \cdot \sin(150^\circ) ifadelerine eşittir. Buradan R3=rR\sqrt{3} = r bağıntısı elde edilir ve istenen oran 33\frac{\sqrt{3}}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABC üçgeninde BC kenarı ile çevrel çemberin yarıçapı R arasındaki ilişkiyi Sinüs Teoremi ile yazalım.
∣BC∣=2R⋅sin⁡(120∘)|BC| = 2R \cdot \sin(120^\circ)
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı çevrel çemberin çapına (2R2R) eşittir.
2
PBC üçgeninde ortak olan BC kenarı ile çevrel çemberin yarıçapı r arasındaki ilişkiyi Sinüs Teoremi ile yazalım.
∣BC∣=2r⋅sin⁡(150∘)|BC| = 2r \cdot \sin(150^\circ)
Aynı teorem ortak BC kenarına sahip olan PBC üçgeni için de geçerlidir.
3
Trigonometrik açı indirgeme formüllerini kullanarak sin⁡(120∘)\sin(120^\circ) ve sin⁡(150∘)\sin(150^\circ) değerlerini hesaplayalım.
sin⁡(120∘)=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡(60∘)=32\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve sin⁡(150∘)=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡(30∘)=12\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
İkinci bölgedeki açıların sinüs değerleri pozitif olup, bütünler açılarının sinüslerine eşittir.
4
Bulduğumuz sinüs değerlerini ∣BC∣|BC| eşitliklerinde yerine koyarak R ve r cinsinden ifadeleri eşitleyelim.
2R⋅32=2r⋅12  ⟹  R3=r2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2r \cdot \frac{1}{2} \implies R\sqrt{3} = r
Her iki üçgende de ∣BC∣|BC| uzunluğu ortak olduğundan, elde edilen iki ifade birbirine eşittir.
5
Elde edilen eşitlikten Rr\frac{R}{r} oranını çekelim.
Rr=13=33\frac{R}{r} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Eşitliğin her iki tarafını r ve 3\sqrt{3} ile bölerek istenen oranı buluruz.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi
Question 12Question →

Bir ABCABC üçgeninde, ABAB kenarı üzerinde bir DD noktası işaretlenmiştir.

[CD]⊥[BC][CD] \perp [BC], m(ACD^)=30∘m(\widehat{ACD}) = 30^\circ ve ∣AD∣=2∣BD∣|AD| = 2|BD|

olduğuna göre, ∣AC∣∣BC∣\frac{|AC|}{|BC|} oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İstenen oran 4 olarak bulunur.
Ortak kenara sahip üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulanıp verilen oranlar yerine yazıldığında, büyük üçgendeki kenar oranının sinüs oranına eşit olduğu görülür ve sonuç 4 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
BCDBCD dik üçgeninde sinüs tanımı yazılır.
BD=CDsin⁡(B)BD = \frac{CD}{\sin(B)}
[CD]⊥[BC][CD] \perp [BC] olduğundan m(BCD^)=90∘m(\widehat{BCD}) = 90^\circ dir. BCDBCD dik üçgeninde sin⁡(B)=CDBD\sin(B) = \frac{CD}{BD} olur.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
ADsin⁡(30∘)=CDsin⁡(A)  ⟹  AD=CD2sin⁡(A)\frac{AD}{\sin(30^\circ)} = \frac{CD}{\sin(A)} \implies AD = \frac{CD}{2\sin(A)}
ACDACD üçgeninin AA ve CC açılarının karşılarındaki kenarlar sırasıyla CDCD ve ADAD olduğundan Sinüs Teoremi doğrudan uygulanabilir.
3
∣AD∣=2∣BD∣|AD| = 2|BD| eşitliğinde elde edilen ifadeler yerine yazılır.
sin⁡(B)sin⁡(A)=4\frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4
CD2sin⁡(A)=2⋅CDsin⁡(B)  ⟹  12sin⁡(A)=2sin⁡(B)\frac{CD}{2\sin(A)} = 2 \cdot \frac{CD}{\sin(B)} \implies \frac{1}{2\sin(A)} = \frac{2}{\sin(B)} eşitliğinden oran elde edilir.
4
ABCABC üçgeninin tamamında Sinüs Teoremi kullanılarak istenen oran hesaplanır.
∣AC∣∣BC∣=sin⁡(B)sin⁡(A)=4\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{\sin(B)}{\sin(A)} = 4
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi gereği ∣AC∣sin⁡(B)=∣BC∣sin⁡(A)\frac{|AC|}{\sin(B)} = \frac{|BC|}{\sin(A)} bağ��ntısı geçerlidir.

Key Concept

Sinüs Teoreminin ortak kenar içeren alt üçgenlerde uygulanarak oran bulma amacıyla kullanılması.
Question 13Question →
Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. [AD][AD] doğru parçası çizilerek oluşturulan açılar ve kenar uzunlukları için
m(BAD^)=45∘m(\widehat{BAD}) = 45^\circ
m(DAC^)=30∘m(\widehat{DAC}) = 30^\circ
∣AB∣=42 birim|AB| = 4\sqrt{2}\text{ birim}
∣AC∣=6 birim|AC| = 6\text{ birim}
bilgileri veriliyor.

Buna göre, ∣BD∣∣CD∣\frac{|BD|}{|CD|} oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 43\frac{4}{3}

Answer

Oran 4/3 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 4/3 değeri, ABD ve ACD üçgenlerinde ortak olan AD kenarı kullanılarak yazılan sinüslü alan formüllerinin oranlanmasıyla elde edilir. Yükseklikleri aynı olan bu üçgenlerin alanları oranı, tabanları olan BD ve CD uzunluklarının oranına eşittir.

Step-by-Step Solution

1
ABD ve ACD üçgenlerinde ortak olan AD kenarını kullanarak sinüslü alan formüllerini yazalım.
Alan(ABD) = (1/2) * |AB| * |AD| * sin(45°) ve Alan(ACD) = (1/2) * |AC| * |AD| * sin(30°)
Yükseklikleri ortak olan üçgenlerin alanları oranı, taban uzunlukları oranına eşit olduğundan alan bağıntılarını kurmamız gerekir.
2
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranının tabanları oranına eşitliğini kullanarak oranlamayı yapalım.
|BD| / |CD| = Alan(ABD) / Alan(ACD) = (|AB| * sin(45°)) / (|AC| * sin(30°))
Ortak terimler olan (1/2) ve |AD| sadeleşir, geriye kenar uzunlukları ve sinüs değerleri kalır.
3
Verilen sayısal değerleri ve trigonometrik oranları formülde yerine yazalım.
|BD| / |CD| = (4\sqrt{2} * (\sqrt{2}/2)) / (6 * (1/2)) = 4 / 3
İşlemleri sadeleştirerek nihai oranı bulmak için.

Key Concept

İki üçgenin ortak bir kenarı paylaştığı durumlarda Sinüs Teoremi veya Sinüslü Alan Formülü yardımıyla taban oranlarının bulunması.
Question 14Question →

Bir ABCABC üçgeninde, AA köşesinden [BC][BC] kenarına çizilen [AD][AD] doğru parçası [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir.

m(BAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = 30^\circ
m(DAC^)=60∘m(\widehat{DAC}) = 60^\circ

ABDABD ve ADCADC üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları sırasıyla R1R_1 ve R2R_2 birimdir.

R1R2=23\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3}

olduğuna göre, ∣BD∣∣CD∣\frac{|BD|}{|CD|} oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen oran 2'dir.
Sinüs Teoremi gereği, her iki üçgende de taban uzunlukları karşısındaki açıların sinüsleri ve çevrel çember yarıçapları ile ifade edilir: ∣BD∣=2R1sin⁡30∘|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ ve ∣CD∣=2R2sin⁡60∘|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ. Bu ifadeler oranlandığında ∣BD∣∣CD∣=R1R2⋅sin⁡30∘sin⁡60∘\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} elde edilir. Verilen R1R2=23\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3} oranı ile sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2} ve sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri yerine yazıldığında aranan oran 2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABD üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma
∣BD∣=2R1sin⁡30∘|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ
Bir üçgende bir kenar uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.
2
ADC üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma
∣CD∣=2R2sin⁡60∘|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ
Aynı Sinüs Teoremi bağıntısını ADC üçgeni için de kurarak [CD][CD] kenarı ile karşısındaki açıyı ilişkilendirmek.
3
Elde edilen denklemleri oranlayarak ∣BD∣/∣CD∣|BD|/|CD| oranını oluşturma
∣BD∣∣CD∣=R1R2⋅sin⁡30∘sin⁡60∘\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}
Ortak terimleri sadeleştirmek ve verilen R1/R2R_1/R_2 yarıçap oranını kullanabilmek amacıyla denklemleri birbirine oranlamak.
4
Değerleri yerine yerleştirip sonucu hesaplama
∣BD∣∣CD∣=2\frac{|BD|}{|CD|} = 2
sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2, sin⁡60∘=3/2\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2 ve R1R2=23\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3} değerlerini yerleştirerek cebirsel sadeleştirme yapmak.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve çevrel çember yarıçapı (RR) ilişkisi: asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R
Question 15Question →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları a,b,ca, b, c birimdir. Bu üçgende,
b2=a2+c2+acb^2 = a^2 + c^2 + ac
bağıntısı geçerlidir.

b=33 birimb = 3\sqrt{3}\text{ birim} ve sin⁡(A^)=12\sin(\widehat{A}) = \frac{1}{2} olduğuna göre, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Çevrel çemberin yarıçapı 3 birimdir.
Kosinüs Teoremi'nden elde edilen m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ açısı kullanılarak Sinüs Teoremi formülü uygulandığında çevrel çemberin yarıçapı doğru bir şekilde 3 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs Teoremi kullanılarak BB açısının ölçüsü belirlenir.
m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ
Bir üçgende b2=a2+c2−2accos⁡(B^)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\widehat{B}) bağıntısı vardır. Soruda verilen b2=a2+c2+acb^2 = a^2 + c^2 + ac bağıntısı ile karşılaştırıldığında −2cos⁡(B^)=1  ⟹  cos⁡(B^)=−12-2\cos(\widehat{B}) = 1 \implies \cos(\widehat{B}) = -\frac{1}{2} elde edilir. Buradan geniş açı olan BB açısı 120∘120^\circ olarak bulunur.
2
Sinüs Teoremi'nin çevrel çember yarıçapı ile ilişkili formülü yazılır.
bsin⁡(B^)=2R\frac{b}{\sin(\widehat{B})} = 2R
Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgenin herhangi bir kenar uzunluğunun karşısındaki açının sinüs değerine oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (2R2R) eşittir.
3
Bilinen değerler formülde yerine yazılarak yarıçap (RR) hesaplanır.
R=3R = 3
b=33b = 3\sqrt{3} ve sin⁡(120∘)=32\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri yerine yazıldığında: 3332=2R  ⟹  6=2R  ⟹  R=3\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \implies 6 = 2R \implies R = 3 elde edilir.

Key Concept

Sinüs Teoremi ile çevrel çemberin yarıçapı (RR) ve kenar uzunlukları arasındaki ilişki: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.
Question 16Question →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olmak üzere,
c2=a2+b2−3abc^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab
sin⁡(A)⋅sin⁡(B)=38\sin(A) \cdot \sin(B) = \frac{3}{8}
ve R=4R = 4 birimdir.

Buna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

ABC üçgeninin alanı 6 birimkaredir.
Verilen bağıntılardan Kosinüs Teoremi yardımıyla CC açısı 30∘30^\circ olarak bulunur. Sinüs Teoremi kullanılarak a⋅b=4R2sin⁡(A)sin⁡(B)a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B) eşitliği elde edilir ve buradan a⋅b=24a \cdot b = 24 hesaplanır. Üçgenin alanı ise 12absin⁡(C)\frac{1}{2}ab\sin(C) formülüyle 6 birimkare olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs Teoremi yardımıyla C açısının ölçüsünü bulma.
C=30∘C = 30^\circ
c2=a2+b2−2abcos⁡(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) formülü ile verilen c2=a2+b2−3abc^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab bağıntısını karşılaştırarak cos⁡(C)=32\cos(C) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde ederiz.
2
Sinüs Teoremi yardımıyla a⋅ba \cdot b çarpımını bulma.
a⋅b=24a \cdot b = 24
a=2Rsin⁡(A)a = 2R\sin(A) ve b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) eşitliklerini taraf tarafa çarparak a⋅b=4R2sin⁡(A)sin⁡(B)a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B) bağıntısını kurar ve verilen RR ile çarpım değerlerini yerine yazarız.
3
Üçgenin alanını hesaplama.
Alan = 6
Sinüslü alan formülü olan Alan(ABC)=12absin⁡(C)\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2}ab\sin(C) bağıntısında elde edilen değerleri yerine koyarak alanı hesaplarız.

Key Concept

Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin birlikte kullanılarak üçgenin alanının hesaplanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 17Question →

Bir ABCABC üçgeninde, kenar uzunlukları a=53 birima = 5\sqrt{3}\text{ birim} ve b=13 birimb = 13\text{ birim} olarak verilmiştir.

sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2} ve C^\widehat{C} açısı dar açı olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 77

Answer

Çevrel çemberin yarıçapı 77 birimdir.
Verilen aa ve bb kenarları ile aralarındaki CC açısının ölçüsü (30∘30^\circ) kullanılarak Kosinüs teoremi yardımıyla cc kenarı 77 birim olarak hesaplanır. Ardından Sinüs teoremi formülü csin⁡C=2R\frac{c}{\sin C} = 2R uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı 77 birim olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2} eşitliği ve C^\widehat{C} açısının dar açı olduğu bilgisi kullanılarak CC açısının ölçüsü belirlenir.
m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ
Dar açı olan ve sinüsü 12\frac{1}{2} olan tek açı 30∘30^\circ dir.
2
Kosinüs teoremi uygulanarak cc kenarının uzunluğu hesaplanır.
c2=a2+b2−2abcos⁡C  ⟹  c2=(53)2+132−2⋅53⋅13⋅cos⁡30∘=75+169−1303⋅32=244−195=49  ⟹  c=7c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \implies c^2 = (5\sqrt{3})^2 + 13^2 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 13 \cdot \cos 30^\circ = 75 + 169 - 130\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 244 - 195 = 49 \implies c = 7 birim
cc kenarını bulmak için bilinen iki kenar ile aralarındaki açı kullanılarak Kosinüs teoremi uygulanır.
3
Sinüs teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı (RR) bulunur.
csin⁡C=2R  ⟹  7sin⁡30∘=2R  ⟹  71/2=2R  ⟹  14=2R  ⟹  R=7\frac{c}{\sin C} = 2R \implies \frac{7}{\sin 30^\circ} = 2R \implies \frac{7}{1/2} = 2R \implies 14 = 2R \implies R = 7 birim
cc kenarı ve bu kenarın karşısındaki CC açısı bilindiğinden Sinüs teoremi ile çevrel çemberin yarıçapına geçiş yapılır.

Key Concept

Sinüs Teoremi ile Kosinüs Teoreminin birlikte uygulanması
Estimated Time:2m 0s
Question 18Question →

Bir ABCABC üçgeninde, aa ve bb kenar uzunlukları sırasıyla 6 birim6\text{ birim} ve 3 birimdir.3\text{ birimdir.}

m(A^)−m(B^)=90∘m(\widehat{A}) - m(\widehat{B}) = 90^\circ

olduğuna göre, cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) değeri ka��tır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) değeri 2 olarak bulunur.
Sinüs Teoremi uygulanarak 6sin⁡(90∘+B)=3sin⁡B\frac{6}{\sin(90^\circ + B)} = \frac{3}{\sin B} elde edilir. sin⁡(90∘+B)=cos⁡B\sin(90^\circ + B) = \cos B özdeşliği kullanıldığında 6cos⁡B=3sin⁡B\frac{6}{\cos B} = \frac{3}{\sin B} bağıntısı bulunur. Buradan oran-orantı kuralları ile cot⁡B=cos⁡Bsin⁡B=2\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = 2 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Üçgende Sinüs Teoremi bağıntısı yazılır.
asin⁡(A^)=bsin⁡(B^)\frac{a}{\sin(\widehat{A})} = \frac{b}{\sin(\widehat{B})}
Kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
a=6a = 6, b=3b = 3 ve m(A^)=90∘+m(B^)m(\widehat{A}) = 90^\circ + m(\widehat{B}) değerleri denklemde yerine yazılır.
6sin⁡(90∘+B^)=3sin⁡(B^)\frac{6}{\sin(90^\circ + \widehat{B})} = \frac{3}{\sin(\widehat{B})}
Verilen bağıntıyı kullanarak denklemi tek bir açı cinsinden ifade etmek için.
3
Trigonometrik indirgeme kullanılarak sin⁡(90∘+B^)\sin(90^\circ + \widehat{B}) ifadesi sadeleştirilir.
sin⁡(90∘+B^)=cos⁡(B^)\sin(90^\circ + \widehat{B}) = \cos(\widehat{B}) olduğundan denklem 6cos⁡(B^)=3sin⁡(B^)\frac{6}{\cos(\widehat{B})} = \frac{3}{\sin(\widehat{B})} halini alır.
İkinci bölgedeki açının sinüs değerini birinci bölgedeki kosinüs cinsinden yazmak için.
4
Elde edilen denklem düzenlenerek cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) oranı hesaplanır.
cos⁡(B^)sin⁡(B^)=63=2\frac{\cos(\widehat{B})}{\sin(\widehat{B})} = \frac{6}{3} = 2 yani cot⁡(B^)=2\cot(\widehat{B}) = 2 bulunur.
Soruda bizden istenen oranı elde etmek için.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme
Question 19Question →
Bir ABCABC üçgeninde,
∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}
∣AC∣=4 birim|AC| = 4\text{ birim}
m(ABC^)=θm(\widehat{ABC}) = \theta
m(ACB^)=90∘+θm(\widehat{ACB}) = 90^\circ + \theta
olduğuna göre, cot⁡θ\cot\theta değeri kaçt��r?
Show answer & explanation

Answer: 32\frac{3}{2}

Answer

32\frac{3}{2}
Sinüs Teoremi gereği 4sin⁡θ=6sin⁡(90∘+θ)\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\sin(90^\circ + \theta)} yazılır. İkinci bölgede sinüsün işareti pozitif olduğundan sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta olur. Buradan 4sin⁡θ=6cos⁡θ\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\cos\theta} elde edilir ve içler dışlar çarpımıyla cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=32\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{3}{2} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi bağıntısını yazın.
∣AC∣sin⁡(ABC^)=∣AB∣sin⁡(ACB^)  ⟹  4sin⁡θ=6sin⁡(90∘+θ)\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})} \implies \frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\sin(90^\circ + \theta)}
Bir üçgende kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların sinüs değerleriyle doğru orantılıdır.
2
sin⁡(90∘+θ)\sin(90^\circ + \theta) ifadesine trigonometrik indirgeme uygulayın.
90∘+θ90^\circ + \theta açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve açı 90∘90^\circ cinsinden yazıldığı için fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür: sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta
Eşitliği sadeleştirmek ve tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için.
3
Elde edilen denklemi çözerek cot⁡θ\cot\theta değerini bulun.
4sin⁡θ=6cos⁡θ  ⟹  4cos⁡θ=6sin⁡θ  ⟹  cos⁡θsin⁡θ=64  ⟹  cot⁡θ=32\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\cos\theta} \implies 4\cos\theta = 6\sin\theta \implies \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{6}{4} \implies \cot\theta = \frac{3}{2}
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme

Alternative Method

Alternatif olarak, ABCABC üçgeninde CC köşesinden [AB][AB] kenarına dikme indirilerek de dik üçgen yardımıyla çözüm yapılabilir, ancak Sinüs Teoremi doğrudan ve en hızlı çözümü sunar.
Estimated Time:1m 30s
Question 20Question →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir.

Bu üçgende,

a⋅cos⁡B+b⋅cos⁡A=8a \cdot \cos B + b \cdot \cos A = 8

ve

sin⁡C=08\sin C = 0{}8

olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarı��apı kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Çevrel çemberin yarıçapı 5 birimdir.
Üçgende kenar uzunlukları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki incelendiğinde, acos⁡B+bcos⁡A=ca \cos B + b \cos A = c bağıntısı elde edilir. Buradan c=8c = 8 bulunur. Sinüs teoremine göre csin⁡C=2R\frac{c}{\sin C} = 2R olduğundan, 808=2R  ⟹  2R=10\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 2R = 10 ve yarıçap R=5R = 5 birim bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenin kenar projeksiyon ilişkisini kullanarak cc kenarının uzunluğunu belirleyelim.
c=8c = 8 birimdir.
Herhangi bir üçgende a⋅cos⁡B+b⋅cos⁡A=ca \cdot \cos B + b \cdot \cos A = c eşitliği geçerlidir. Bu durum sinüs teoremi ve sinüs toplam formülü yardımıyla da 2R(sin⁡Acos⁡B+sin⁡Bcos⁡A)=2Rsin⁡(A+B)=2Rsin⁡C=c2R(\sin A \cos B + \sin B \cos A) = 2R \sin(A+B) = 2R \sin C = c şeklinde ispatlanabilir.
2
Sinüs teoremini kullanarak çevrel çemberin yarıçapını hesaplayalım.
R=5R = 5 birimdir.
Sinüs teoremine göre csin⁡C=2R\frac{c}{\sin C} = 2R yazılabilir. Değerleri yerine koyduğumuzda 808=2R  ⟹  10=2R  ⟹  R=5\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 10 = 2R \implies R = 5 bulunur.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Üçgende Kenar-Açı İlişkileri
Page 1 / 2Next
Sinüs Teoremi Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin