Examkin

Question

Difficulty: HardAritmetik Dizi ve Özellikleri

Azalan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a4+a10+a16=45a_4 + a_{10} + a_{16} = 45
a6⋅a14−a8⋅a12=−108a_6 \cdot a_{14} - a_8 \cdot a_{12} = -108

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

  1. 42Answer
  2. B
    45
  3. C
    -12
  4. D
    -15
  5. E
    24

Answer

Dizinin ilk terimi 42'dir.
Verilen birinci eşitlikten indislerin aritmetik ortalaması kullanılarak onuncu terim 15 olarak hesaplanır. İkinci eşitlikte terimler onuncu terim cinsinden yazıldığında kareler farkı sadeleşmesiyle ortak farkın karesi 9 elde edilir. Dizinin azalan olması nedeniyle ortak fark -3 seçilir. Genel terim formülüyle birinci terim 42 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci denklemde indis simetrisi özelliğini kullanarak onuncu terimi bulunuz.
a4+a16=2a10a_4 + a_{16} = 2a_{10} olduğundan, 2a10+a10=3a10=45⇒a10=152a_{10} + a_{10} = 3a_{10} = 45 \Rightarrow a_{10} = 15 elde edilir.
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir.
2
İkinci denklemdeki terimleri onuncu terim ve ortak fark olan rr cinsinden yazarak ortak farkı hesaplayınız.
a6=a10−4ra_6 = a_{10} - 4r, a14=a10+4ra_{14} = a_{10} + 4r, a8=a10−2ra_8 = a_{10} - 2r ve a12=a10+2ra_{12} = a_{10} + 2r olarak yazılır. Buradan,
(a10−4r)(a10+4r)−(a10−2r)(a10+2r)=−108(a_{10} - 4r)(a_{10} + 4r) - (a_{10} - 2r)(a_{10} + 2r) = -108
(a102−16r2)−(a102−4r2)=−108(a_{10}^2 - 16r^2) - (a_{10}^2 - 4r^2) = -108
−12r2=−108⇒r2=9-12r^2 = -108 \Rightarrow r^2 = 9 bulunur.
Terimleri merkezi bir terime göre simetrik yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
3
Dizinin azalan olma koşulunu dikkate alarak ortak fark değerini belirleyiniz.
Dizi azalan olduğundan ortak fark negatif olmalıdır. Dolayısıyla r=−3r = -3 olur.
Azalan aritmetik dizilerde ortak fark sıfırdan küçüktür.
4
Bulunan onuncu terim ve ortak fark değerlerini genel terim formülünde yerine yazarak birinci terimi hesaplayınız.
a10=a1+9r⇒15=a1+9(−3)⇒15=a1−27⇒a1=42a_{10} = a_1 + 9r \Rightarrow 15 = a_1 + 9(-3) \Rightarrow 15 = a_1 - 27 \Rightarrow a_1 = 42 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terimi an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r bağıntısıyla bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic