Examkin

Question

Difficulty: HardYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılarda tanımlı

f(x)=x2−ax+4x2+1f(x) = \frac{x^2 - ax + 4}{x^2 + 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 33'tür.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin çarpımı kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Answer
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

Yerel ekstremum değerlerinin çarpımı 3'tür.
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen ax2−6x−a=0ax^2 - 6x - a = 0 denkleminin kökleri ekstremum apsisleridir. Apsisler toplamı 3 olarak verildiğinden a=2a = 2 bulunur. Bu durumda apsislerin sağladığı denklem x2−3x−1=0x^2 - 3x - 1 = 0 olur. Fonksiyonun kurallarında derecesi düşürülerek f(xi)=xi+53xi+2f(x_i) = \frac{x_i + 5}{3x_i + 2} elde edilir. Kökler toplamı (33) ve kökler çarpımı (−1-1) değerleri rasyonel çarpımda yerine yazıldığında aranan çarpım değeri 3 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak sıfıra eşitleyin.
f′(x)=(2x−a)(x2+1)−2x(x2−ax+4)(x2+1)2=ax2−6x−a(x2+1)2=0f'(x) = \frac{(2x - a)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - ax + 4)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{ax^2 - 6x - a}{(x^2 + 1)^2} = 0 denklemi elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, fonksiyonun türevini sıfır yapan noktalardır.
2
Ekstremum noktalarının apsisleri toplamından faydalanarak aa değerini bulun.
ax2−6x−a=0ax^2 - 6x - a = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Kökler toplamı x1+x2=−−6a=6a=3  ⟹  a=2x_1 + x_2 = -\frac{-6}{a} = \frac{6}{a} = 3 \implies a = 2 bulunur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı formülü −b/a-b/a şeklindedir.
3
aa değerini yerine yazarak apsislerin sağladığı denklemi sadeleştirin.
2x2−6x−2=0  ⟹  x2−3x−1=0  ⟹  x2=3x+12x^2 - 6x - 2 = 0 \implies x^2 - 3x - 1 = 0 \implies x^2 = 3x + 1 bağıntısı elde edilir. Ayrıca kökler çarpımı x1x2=−1x_1 x_2 = -1 ve kökler toplamı x1+x2=3x_1 + x_2 = 3 olur.
Fonksiyon değerlerini sadeleştirmek için x2x^2 yerine doğrusal bir ifade yazmak kolaylık sağlar.
4
Ekstremum noktalarındaki fonksiyon değerlerinin çarpımını hesaplayın.
f(xi)=xi2−2xi+4xi2+1=3xi+1−2xi+43xi+1+1=xi+53xi+2f(x_i) = \frac{x_i^2 - 2x_i + 4}{x_i^2 + 1} = \frac{3x_i + 1 - 2x_i + 4}{3x_i + 1 + 1} = \frac{x_i + 5}{3x_i + 2} olur. Değerlerin çarpımı:

f(x1)⋅f(x2)=x1+53x1+2⋅x2+53x2+2=x1x2+5(x1+x2)+259x1x2+6(x1+x2)+4f(x_1) \cdot f(x_2) = \frac{x_1 + 5}{3x_1 + 2} \cdot \frac{x_2 + 5}{3x_2 + 2} = \frac{x_1 x_2 + 5(x_1 + x_2) + 25}{9x_1 x_2 + 6(x_1 + x_2) + 4}

Burada bilinen değerler yerine yazıldığında:

−1+5(3)+259(−1)+6(3)+4=3913=3\frac{-1 + 5(3) + 25}{9(-1) + 6(3) + 4} = \frac{39}{13} = 3 bulunur.
Yerel ekstremum değerleri, fonksiyonun ekstremum apsislerindeki görüntüleridir. Bu değerlerin çarpımı rasyonel ifadelerin çarpımı ve kök katsayı ilişkileriyle bulunur.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonlarda türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi ve ikinci dereceden denklemlerde kök-katsayı ilişkilerinin fonksiyon değerlerine uygulanması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic