Examkin

Question

Difficulty: MediumSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

aa, bb ve cc gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x2−ax−3,x<32x+b,3≤x<62x+12x−c,x≥6f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a}{x - 3}, & x < 3 \\ 2x + b, & 3 \le x < 6 \\ \frac{2x + 12}{x - c}, & x \ge 6 \end{cases}

fonksiyonu tüm gerçel sayılarda süreklidir.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Answer: 13

Answer

a + b + c toplamının değeri 13'tür.
Fonksiyonun her noktada sürekli olması için x = 3 ve x = 6 sınır noktalarında sağ ve sol limitlerin fonksiyonun o noktalardaki değerlerine eşit olması gerekir. x = 3 noktasındaki sol limitin varlığı için a = 9 olmalıdır. Buradan sol limit 6 çıkar ve süreklilik için f(3) = 6 olmalıdır, bu da b = 0 sonucunu verir. x = 6 noktasında ise sol limit 12'dir ve sağ limitin de 12 olması için c = 4 olmalıdır. c = 4 değeri x >= 6 aralığı dışında kaldığı için başka bir süreksizlik noktası oluşturmaz. Bu nedenle a + b + c = 13'tür.

Step-by-Step Solution

1
x = 3 noktasında sol limitin varlığ��nı inceleyerek a parametresini bulunuz.
a = 9
Sol limit olan lim_{x -> 3^-} (x^2 - a)/(x - 3) ifadesinde payda sıfıra yaklaştığından, limitin bir gerçel sayı çıkması için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Dolayısıyla 3^2 - a = 0 olmalıdır.
2
a = 9 değerini yerine koyarak x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplayınız ve sürekli olması için b parametresini bulunuz.
b = 0
lim_{x -> 3^-} (x^2 - 9)/(x - 3) = lim_{x -> 3^-} (x + 3) = 6 olur. x = 3 noktasında süreklilik için sağ limit ve fonksiyon değeri de 6 olmalıdır. f(3) = 2(3) + b = 6 bağıntısından b = 0 elde edilir.
3
x = 6 sınır noktasındaki sürekliliği inceleyerek c parametresini bulunuz ve fonksiyonun diğer aralıklarda da sürekli olduğunu doğrulayınız.
c = 4
x = 6 noktasındaki sol limit lim_{x -> 6^-} (2x) = 12'dir. Sağ limit ise f(6) = (2(6) + 12)/(6 - c) = 24/(6 - c) olur. 24/(6 - c) = 12 eşitliğinden c = 4 bulunur. c = 4 değeri x >= 6 aralığının dışında kaldığından bu aralıkta herhangi bir tanımsızlık veya süreksizlik oluşturmaz.
4
Bulunan a, b ve c değerlerini toplayınız.
a + b + c = 9 + 0 + 4 = 13
İstenen a + b + c toplamı elde edilir.

Key Concept

Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarda (sınır değerlerinde) sağdan limit, soldan limit ve o noktadaki fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca rasyonel ifadelerin paydayı sıfır yapan köklerinin, ilgili tanım aralığının dışında kalması veya sadeleşerek limiti bozmaması gerekir.
Rate this question

Topics

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

More questions from this topic