Examkin

Question

Difficulty: Very hardSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

a<4a < 4 olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x)={x2−a2x−a,x<ax2−6x+24,a≤x≤4log⁡3(x2−2x+k),x>4f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a^2}{x - a}, & x < a \\ \sqrt{x^2 - 6x + 24}, & a \leq x \leq 4 \\ \log_3(x^2 - 2x + k), & x > 4 \end{cases}

fonksiyonu her xx gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, a+ka + k toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    58
  3. C
    69
  4. 75Answer
  5. E
    77

Answer

Süreklilik şartları doğru uygulandığında a = 2 ve k = 73 bulunur. Bu değerlerin toplamı olan 75 doğru cevaptır.
Fonksiyonun tüm gerçek sayılarda sürekli olması için x=ax = a ve x=4x = 4 kritik noktalarında sürekli olması gerekir. x=ax = a noktasında süreklilik için sol limit olan 2a2a değeri ile sağ limit ve fonksiyon değeri olan a2−6a+24\sqrt{a^2 - 6a + 24} değeri eşit olmalıdır. Buradan a=2a = 2 elde edilir (a=−4a = -4 değeri sol limiti negatif yaptığından elenir). x=4x = 4 noktasında süreklilik için sol limit ve fonksiyon değeri olan 44 ile sağ limit olan log⁡3(8+k)\log_3(8 + k) eşit olmalıdır. Buradan k=73k = 73 elde edilir. Toplamları ise 7575 olur.

Step-by-Step Solution

1
x<ax < a için tanımlı olan x2−a2x−a\frac{x^2-a^2}{x-a} ifadesini sadeleştirerek limit durumunu incelemek.
Sol limit 2a2a olarak bulunur.
x≠ax \neq a için x2−a2x−a=x+a\frac{x^2-a^2}{x-a} = x+a eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla x→a−x \to a^- için limit değeri a+a=2aa+a = 2a olur.
2
x=ax = a noktasındaki süreklilik şartını yazmak.
a=2a = 2 bulunur.
Süreklilik için sol limit ile sağ limit ve o noktadaki fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Buradan 2a=a2−6a+242a = \sqrt{a^2 - 6a + 24} eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için 2a≥02a \geq 0 yani a≥0a \geq 0 olmalıdır. İki tarafın karesi alındığında 4a2=a2−6a+24⇒a2+2a−8=04a^2 = a^2 - 6a + 24 \Rightarrow a^2 + 2a - 8 = 0 denklemi elde edilir. Kökler a=2a = 2 ve a=−4a = -4 olup, a≥0a \geq 0 şartından dolayı a=2a = 2 seçilir.
3
x=4x = 4 noktasındaki süreklilik şartını yazarak kk parametresini bulmak.
k=73k = 73 bulunur.
x=4x = 4 noktasında süreklilik için sol limit ve fonksiyon değeri olan 42−6(4)+24=4\sqrt{4^2 - 6(4) + 24} = 4 değeri, sağ limit olan lim⁡x→4+log⁡3(x2−2x+k)=log⁡3(16−8+k)\lim_{x \to 4^+} \log_3(x^2 - 2x + k) = \log_3(16 - 8 + k) değerine eşit olmalıdır. Buradan log⁡3(8+k)=4⇒8+k=34=81⇒k=73\log_3(8 + k) = 4 \Rightarrow 8 + k = 3^4 = 81 \Rightarrow k = 73 elde edilir. Bu kk değeri için x2−2x+73>0x^2 - 2x + 73 > 0 şartı tüm x>4x > 4 sayıları için sağlandığından logaritma fonksiyonu tanımlıdır.
4
Bulunan aa ve kk değerlerini toplamak.
a+k=2+73=75a + k = 2 + 73 = 75 bulunur.
Soruda istenen a+ka + k toplamı bu iki parametrenin toplamına eşittir.

Key Concept

Parçalı fonksiyonların kritik noktalarda süreklilik tanımı, limit varlığı şartı ve tanımlı olma koşullarının analizi.
Rate this question

Topics

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

More questions from this topic