Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
  1. 1a=sin⁡x⋅tan⁡xa = \sin x \cdot \tan x
  2. 2b=cos⁡x⋅cot⁡xb = \cos x \cdot \cot x
  3. 3c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < b < c şeklindedir.
Verilen üçüncü bölge aralığında sinüs ve kosinüs fonksiyonları negatif, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise pozitiftir. Bu doğrultuda iki negatif değerin çarpımı olan üçüncü ifade pozitif; negatif ve pozitif değerlerin çarpımları olan birinci ve ikinci ifadeler ise negatif olur. Negatif ifadelerin mutlak değerleri karşılaştırıldığında, sinüsün mutlak değerinin kosinüsün mutlak değerinden büyük olmasından ötürü birinci ifade mutlak değerce daha büyük ve dolayısıyla daha küçüktür. Bu durum sıralamayı birinci ifade < ikinci ifade < üçüncü ifade biçiminde belirler.

Step-by-Step Solution

1
Aralığa göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme.
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde ��çüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 değerlerini alır.
Birim çember üzerinde üçüncü bölgedeki noktaların apsisleri (kosinüs) ve ordinatları (sinüs) negatif; bu değerlerin oranları olan tanjant ve kotanjant ise pozitiftir.
2
Tanımlanan a, b ve c ifadelerinin işaretlerini analiz etme.
a=sin⁡x⋅tan⁡x<0a = \sin x \cdot \tan x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), b=cos⁡x⋅cot⁡x<0b = \cos x \cdot \cot x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), c=sin⁡x⋅cos⁡x>0c = \sin x \cdot \cos x > 0 (iki negatifin çarpımı) olarak bulunur.
İşaret kurallarına göre zıt işaretli sayıların çarpımı negatif, aynı işaretli sayıların çarpımı ise pozitiftir.
3
Negatif olan a ve b ifadelerini mutlak değerce karşılaştırma.
5π4<x<3π2\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} aralığında ∣sin⁡x∣>∣cos⁡x∣|\sin x| > |\cos x| olduğundan, ∣a∣=sin⁡2x∣cos⁡x∣|a| = \frac{\sin^2 x}{|\cos x|} ifadesinin payı daha büyük, paydası daha küçüktür. Dolayısıyla ∣a∣>∣b∣|a| > |b| elde edilir. Sayılar negatif olduğundan a<ba < b olur.
Negatif iki sayıdan mutlak değerce büyük olan sayı sayı doğrusunda daha solda yer alacağı için daha küçüktür.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve büyüklüklerinin karşılaştırılması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic