Examkin

Question

Difficulty: MediumBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff fonksiyonu
f(x)=x3−2x2+1f(x) = x^3 - 2x^2 + 1
ve x>−13x > -\frac{1}{3} için tanımlı gg fonksiyonu
g(x)=3x+1g(x) = \sqrt{3x + 1}
biçiminde veriliyor.

Buna göre, h(x)=(f∘g)(x)h(x) = (f \circ g)(x) olarak tanımlanan hh fonksiyonunun x=8x = 8 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Answer: 16.5

Answer

Bileşke fonksiyonun türevi kuralına göre h′(8)=16,5h'(8) = 16,5 olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı uygulandığında h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) eşitliği yazılır. g(8)=5g(8) = 5 ve g′(8)=0,3g'(8) = 0,3 değerleri ile f′(5)=55f'(5) = 55 değeri yerine yazılıp çarpıldığında doğru yanıt olan 16,516,5 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını belirleme
h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) olup x=8x = 8 için h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) olur.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
g(8)g(8) ve g′(8)g'(8) değerlerini hesaplama
g(8)=3⋅8+1=25=5g(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = \sqrt{25} = 5 ve g′(x)=323x+1g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} olduğundan g′(8)=3225=310=0,3g'(8) = \frac{3}{2\sqrt{25}} = \frac{3}{10} = 0,3 bulunur.
Formülde kullanılmak üzere içteki fonksiyonun x=8x=8 noktasındaki değeri ve türev değeri hesaplanır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulma ve f′(g(8))f'(g(8)) değerini hesaplama
f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x olduğundan, f′(g(8))=f′(5)=3(5)2−4(5)=75−20=55f'(g(8)) = f'(5) = 3(5)^2 - 4(5) = 75 - 20 = 55 bulunur.
Dıştaki fonksiyonun türevinde, içteki fonksiyonun görüntüsü olan 55 değeri yerine yazılır.
4
Değerleri bileşke türev formülünde yerine yazarak sonucu bulma
h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)=55⋅0,3=16,5h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) = 55 \cdot 0,3 = 16,5 bulunur.
Elde edilen ara değerler çarpılarak bileşke fonksiyonun türev değerine ulaşılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi hesaplanıp içine içteki fonksiyon yazılır ve bu değer içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic