Examkin

Question

Difficulty: HardAritmetik Dizi ve Özellikleri

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin genel terimi, f(x)f(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, an=f(n)a_n = f(n) biçiminde tanımlanmıştır.

Bu dizi için,
a1+a3=20a_1 + a_3 = 20
f(a1)=25f(a_1) = 25

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin ortak farkının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    6
  2. B
    10
  3. 8Answer
  4. D
    15
  5. E
    17

Answer

Ortak farkın alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.
Soruda verilen a1+a3=20a_1 + a_3 = 20 eşitliğinden a2=10a_2 = 10 ve dolayısıyla a1=10−ra_1 = 10 - r bulunur. f(a1)=25f(a_1) = 25 eşitliğinde genel terim f(x)=a1+(x−1)rf(x) = a_1 + (x-1)r ifadesi kullanılarak (10−r)+(9−r)r=25(10 - r) + (9 - r)r = 25 denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0 ikinci dereceden denkleme ulaşılır. Bu denklemin kökleri (ortak farkın alabileceği değerler) 3 ve 5 olup, toplamları 8'dir.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin genel terimi ile doğrusal fonksiyon arasındaki ilişkiyi belirleme
f(x)=a1+(x−1)rf(x) = a_1 + (x - 1)r
Genel terim an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r olup an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlandığı için fonksiyon da doğrusal yapıdadır.
2
Verilen terim toplamından a1a_1 terimini ortak fark rr cinsinden ifade etme
a1=10−ra_1 = 10 - r
a1+a3=2a2=20a_1 + a_3 = 2a_2 = 20 eşitliğinden a2=10a_2 = 10 bulunur. a1=a2−ra_1 = a_2 - r bağıntısından a1=10−ra_1 = 10 - r elde edilir.
3
f(a1)=25f(a_1) = 25 eşitliğini kullanarak rr parametresine bağlı bir denklem kurma
r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0
f(a1)=a1+(a1−1)r=25f(a_1) = a_1 + (a_1 - 1)r = 25 denkleminde a1=10−ra_1 = 10 - r yazıldığında (10−r)+(9−r)r=25(10 - r) + (9 - r)r = 25 elde edilir. Bu ifade düzenlendiğinde r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0 denklemine ulaşılır.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek ortak farkın alabileceği değerleri ve toplamını bulma
r=3r = 3 veya r=5r = 5; toplam = 8
r2−8r+15=(r−3)(r−5)=0r^2 - 8r + 15 = (r - 3)(r - 5) = 0 denkleminin kökleri r=3r = 3 ve r=5r = 5 olup, alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.

Key Concept

Aritmetik dizinin doğrusal fonksiyon yapısı ve indis özellikleri
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic