Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun yerel minimum noktası A(3,4)A(3, 4) ve yerel maksimum noktası B(1,k)B(1, k) olarak verilmiştir.

f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

olduğuna göre, a+b+c+ka + b + c + k toplamı kaçtır?

  1. A
    11
  2. 15Answer
  3. C
    27
  4. D
    111
  5. E
    -105

Answer

a + b + c + k toplamı 15 olarak bulunur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarında türevi sıfırdır. Bu kuraldan yararlanarak oluşturulan türev denklemlerinin ortak çözümünden a=−6a = -6 ve b=9b = 9 elde edilir. Verilen yerel minimum noktası A(3,4)A(3, 4) fonksiyon kuralında yerine yazılarak c=4c = 4 bulunur. Son olarak yerel maksimum noktası B(1,k)B(1, k) fonksiyon denkleminde yerine yazıldığında yerel maksimum değeri k=8k = 8 olarak hesaplanır. Bu dört değer toplandığında elde edilen sonuç 15 olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b elde edilir.
Yerel ekstremum noktalarında türevin değerini incelemek için birinci türeve ihtiyaç vardır.
2
Yerel ekstremum noktalarında türevin sıfır olması koşulunu kullanarak a ve b değerlerini bulun.
f′(3)=0⇒27+6a+b=0⇒6a+b=−27f'(3) = 0 \Rightarrow 27 + 6a + b = 0 \Rightarrow 6a + b = -27 ve f′(1)=0⇒3+2a+b=0⇒2a+b=−3f'(1) = 0 \Rightarrow 3 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = -3 denklem sistemi çözüldüğünde a=−6a = -6 ve b=9b = 9 elde edilir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
3
A(3, 4) noktasının fonksiyon denklemini sağladığı bilgisinden c sabitini hesaplayın.
f(3)=27+9a+3b+c=4⇒27+9(−6)+3(9)+c=4⇒27−54+27+c=4⇒c=4f(3) = 27 + 9a + 3b + c = 4 \Rightarrow 27 + 9(-6) + 3(9) + c = 4 \Rightarrow 27 - 54 + 27 + c = 4 \Rightarrow c = 4 bulunur.
Fonksiyon grafiği üzerindeki her nokta, fonksiyonun kuralını sağlamak zorundadır.
4
B(1, k) noktasını kullanarak k değerini hesaplayın.
f(1)=1+a+b+c=k⇒1−6+9+4=k⇒k=8f(1) = 1 + a + b + c = k \Rightarrow 1 - 6 + 9 + 4 = k \Rightarrow k = 8 bulunur.
Yerel maksimum noktası da fonksiyon grafiği üzerinde yer aldığından fonksiyon denklemini sağlar.
5
Bulunan a, b, c ve k değerlerini toplayarak sonuca ulaşın.
a+b+c+k=−6+9+4+8=15a + b + c + k = -6 + 9 + 4 + 8 = 15 elde edilir.
Soruda istenen toplam ifadesinin değerini bulmak için tüm değişkenler toplanır.

Key Concept

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevinin sıfır olması ve bu noktaların fonksiyon denklemini sağlaması.
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic