Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡35=x \log_3 5 = x
log⁡25=y \log_2 5 = y

olduğuna göre, log⁡3018\log_{30} 18 ifadesinin xx ve yy türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2x+yx+y+1\frac{2x + y}{x + y + 1}
  2. B
    x+2yxy+1\frac{x + 2y}{xy + 1}
  3. x+2yxy+x+y\frac{x + 2y}{xy + x + y}Answer
  4. D
    2xy+x+y\frac{2}{xy + x + y}
  5. E
    1−xx\frac{1 - x}{x}

Answer

x+2yxy+x+y\frac{x + 2y}{xy + x + y}
Verilen ifadelerde ortak olan 5 sayısı taban olarak seçilip taban değiştirme kuralı uygulandığında log⁡53=1x\log_5 3 = \frac{1}{x} ve log⁡52=1y\log_5 2 = \frac{1}{y} değerleri elde edilir. İstenen log⁡3018\log_{30} 18 ifadesi 5 tabanında log⁡518log⁡530\frac{\log_5 18}{\log_5 30} şeklinde yazıldıktan sonra asal çarpanlarına ayrılarak açılırsa log⁡52+2log⁡53log⁡52+log⁡53+1\frac{\log_5 2 + 2\log_5 3}{\log_5 2 + \log_5 3 + 1} ifadesine ulaşılır. Buradan değişkenler yerine yazılıp payda eşitlendiğinde doğru cevap x+2yxy+x+y\frac{x + 2y}{xy + x + y} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen logaritma ifadelerinin argümanlarının ortak olmasından yararlanarak taban değiştirme kuralı yardımıyla ifadeleri 5 tabanında yazmak.
log⁡53=1x\log_5 3 = \frac{1}{x} ve log⁡52=1y\log_5 2 = \frac{1}{y}
Soruda verilen log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} özelliğini kullanarak tüm verileri tek bir tabanda (5 tabanında) toplamak işlemlerimizi kolaylaştıracaktır.
2
Aranan log⁡3018\log_{30} 18 ifadesini de taban değiştirme kuralını kullanarak 5 tabanında oran şeklinde ifade etmek.
log⁡3018=log⁡518log⁡530\log_{30} 18 = \frac{\log_5 18}{\log_5 30}
Eldeki veriler 5 tabanında olduğundan, aranan ifadeyi de 5 tabanında yazarak değişkenleri yerine koyabilmeyi sağlamak.
3
Pay ve paydadaki sayıları asal çarpanlarına ayırarak logaritmanın çarpma ve üs özelliklerini uygulamak.
log⁡518=log⁡5(2⋅32)=log⁡52+2log⁡53\log_5 18 = \log_5 (2 \cdot 3^2) = \log_5 2 + 2\log_5 3 ve log⁡530=log⁡5(2⋅3⋅5)=log⁡52+log⁡53+1\log_5 30 = \log_5 (2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_5 2 + \log_5 3 + 1
Logaritmanın çarpım özelliğini (log⁡a(m⋅n)=log⁡am+log⁡an\log_a (m \cdot n) = \log_a m + \log_a n) ve üs özelliğini (log⁡amp=p⋅log⁡am\log_a m^p = p \cdot \log_a m) kullanarak ifadeleri log⁡52\log_5 2 ve log⁡53\log_5 3 cinsinden açmak.
4
Elde edilen ifadede log⁡53=1x\log_5 3 = \frac{1}{x} ve log⁡52=1y\log_5 2 = \frac{1}{y} değerlerini yerine yazıp paydaları eşitleyerek ifadeyi sadeleştirmek.
1y+2x1y+1x+1=x+2yxyx+y+xyxy=x+2yxy+x+y\frac{\frac{1}{y} + \frac{2}{x}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x} + 1} = \frac{\frac{x + 2y}{xy}}{\frac{x + y + xy}{xy}} = \frac{x + 2y}{xy + x + y}
Rasyonel ifadede payda eşitleme ve sadeleştirme işlemlerini tamamlayarak xx ve yy türünden nihai sonucu elde etmek.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Özellikler

Alternative Method

Verilen ifadeleri 5 tabanına dönüştürmek yerine, her iki ifadeyi doğrudan taraf tarafa bölerek log⁡32=yx\log_3 2 = \frac{y}{x} ilişkisi elde edilebilir. Ardından aranan log⁡3018\log_{30} 18 ifadesi 3 tabanında yazılıp bu değerler yerine konularak da aynı sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic