Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Ortak çarpanı pozitif bir gerçel sayı olan (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6−S3=7⋅a4S_6 - S_3 = 7 \cdot a_4

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

  1. A
    73\frac{7}{3}
  2. 22Answer
  3. C
    33
  4. D
    94\frac{9}{4}
  5. E
    44

Answer

Dizinin ortak çarpanı 2'dir.
İlk 6 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye a4+a5+a6a_4 + a_5 + a_6 kalır. Bu ifade a4a_4 cinsinden yazıldığında a4(1+r+r2)a_4(1 + r + r^2) olur. Soruda bu farkın 7a47a_4 değerine eşit olduğu belirtilmiştir. a4a_4 terimleri sadeleştirildiğinde 1+r+r2=71 + r + r^2 = 7 denklemi, buradan da r2+r−6=0r^2 + r - 6 = 0 elde edilir. Çarpanlara ayırma yöntemiyle kökler r=2r = 2 ve r=−3r = -3 olarak bulunur. Ortak çarpanın pozitif bir gerçel sayı olduğu belirtildiğinden doğru değer 2 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
İlk 6 terim toplamı ile ilk 3 terim toplamı arasındaki farkı dizi terimleri cinsinden ifade edin.
S6−S3=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)−(a1+a2+a3)=a4+a5+a6S_6 - S_3 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) - (a_1 + a_2 + a_3) = a_4 + a_5 + a_6
İlk nn terim toplamının tanımına göre, ilk 6 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4., 5. ve 6. terimler kalır.
2
Elde edilen terimleri geometrik dizinin ortak çarpanı olan rr türünden a4a_4 ortak parantezinde yazın.
a5=a4⋅ra_5 = a_4 \cdot r ve a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 olduğundan S6−S3=a4+a4⋅r+a4⋅r2=a4(1+r+r2)S_6 - S_3 = a_4 + a_4 \cdot r + a_4 \cdot r^2 = a_4(1 + r + r^2) olur.
Denklemdeki bilinmeyen sayısını azaltarak ortak çarpanı yalnız bırakabilmek için terimleri ortak bir çarpan parantezine almak gerekir.
3
Bulunan ifadeyi verilen eşitlikte yerine yazarak ortak çarpanı bulun.
a4(1+r+r2)=7⋅a4a_4(1 + r + r^2) = 7 \cdot a_4 eşitliğinde terimleri pozitif olan dizide a4≠0a_4 \neq 0 olduğundan sadeleştirme yapılırsa 1+r+r2=7  ⟹  r2+r−6=01 + r + r^2 = 7 \implies r^2 + r - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (r+3)(r−2)=0(r+3)(r-2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpan pozitif bir gerçel sayı olduğundan r=2r = 2 bulunur.
İkinci dereceden denklemi çözüp sorudaki pozitiflik şartını sağlayan ortak çarpan değerini belirlemek için.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı ile ardışık terimler arasındaki ilişkiyi kurma.
Rate this question

Topics

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic