Examkin

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

20 questions

All types20Multiple choice10Numeric10
Question 1Question →

İlk terimi 33 ve ortak çarpanı 22 olan bir geometrik dizinin ilk 55 teriminin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 93

Answer

İlk 5 terimin toplamı 93'tür.
İlk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak çarpanı r=2r = 2 olan geometrik dizinin ilk 55 teriminin toplamı S5=a1⋅r5−1r−1S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5 - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır. Değerler yerine yazıldığında S5=3⋅25−12−1=3⋅31=93S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü yazalım.
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
Bu form��l, ilk terimi a1a_1 ve ortak çarpanı rr olan bir geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamını verir.
2
Soruda verilen ilk terim (a1=3a_1 = 3), ortak çarpan (r=2r = 2) ve terim sayısı (n=5n = 5) değerlerini formülde yerine yazalım.
S5=3⋅25−12−1S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1}
İlk 5 terimin toplamını bulmak için ilgili parametreleri formüle yerleştirmeliyiz.
3
Üslü ifadenin değerini hesaplayıp sadeleştirme işlemlerini yapalım.
S5=3⋅32−11=3⋅31=93S_5 = 3 \cdot \frac{32 - 1}{1} = 3 \cdot 31 = 93
25=322^5 = 32 değerini yerine yazarak gerekli çarpma ve bölme işlemlerini tamamlarız.

Key Concept

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Question 2Question →

Bir geometrik dizinin ilk 3 teriminin toplamı S3S_3 ve ilk 6 teriminin toplamı S6S_6'dır.

S6S3=9\frac{S_6}{S_3} = 9

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Ortak çarpan 2'dir.
Dizinin ilk 6 teriminin toplamının ilk 3 teriminin toplamına oranı yazıldığında a1a_1 terimleri ve paydadaki r−1r-1 ifadeleri sadeleşir. Kalan r6−1r3−1\frac{r^6-1}{r^3-1} ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde r3+1r^3 + 1 elde edilir. Bu ifade 9'a eşitlendiğinde r3=8r^3 = 8 ve dolayısıyla r=2r = 2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk n terim toplamı formülünü tanımlamak
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
Geometrik dizide ilk terimlerin toplamını ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden ifade etmek için.
2
Verilen oran ifadesini formül cinsinden yazmak
S6S3=r6−1r3−1\frac{S_6}{S_3} = \frac{r^6 - 1}{r^3 - 1}
Ortak çarpan rr değerini bulabilmek amacıyla ilk terim a1a_1 ve ortak payda olan r−1r-1 ifadelerini sadeleştirmek için.
3
Çarpanlara ayırma özdeşliğini uygulamak
S6S3=r3+1\frac{S_6}{S_3} = r^3 + 1
r6−1=(r3−1)(r3+1)r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1) iki kare farkı açılımını kullanarak r3−1r^3-1 ifadelerini sadeleştirmek için.
4
Oluşan denklemi çözerek ortak çarpanı bulmak
r=2r = 2
r3+1=9  ⟹  r3=8r^3 + 1 = 9 \implies r^3 = 8 eşitliğini sağlayan reel sayı değerini belirlemek için.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülünün kullanılması ve çarpanlara ayırma yardımıyla ortak çarpanın çekilmesi.
Question 3Question →

Genel terimi an=2⋅3n−1a_n = 2 \cdot 3^{n-1} olan bir geometrik dizinin ilk 44 teriminin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Genel terimi verilen geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplamı 80'dir.
Genel terimi verilen geometrik dizinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 ve ortak çarpanı r=3r = 3 olarak bulunur. Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ifadesinde bu değerler ve n=4n = 4 yerine yazıldığında S4=2⋅34−13−1=80S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 80 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk terimi ve ortak çarpanı belirleme
a1=2a_1 = 2 ve r=3r = 3
Dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} biçiminde yazıldığında ilk terim ve ortak çarpan doğrudan tespit edilebilir.
2
Toplam formülünü kurma
S4=2⋅34−13−1S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1}
Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülü ile hesaplanır.
3
Hesaplamayı gerçekleştirme
S4=80S_4 = 80
Üslü ifadenin değeri bulunarak sadeleştirme işlemleri tamamlanır.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü
Question 4Question →

Pozitif terimli ve artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde ilk terim a1=log⁡3xa_1 = \log_3 x ve ortak çarpan r=log⁡x27r = \log_x 27 olarak tanımlanıyor.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamı 1313 olduğuna göre, ilk beş teriminin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 121

Answer

İlk beş terimin toplamı 121'dir.
Logaritma özellikleri kullanılarak dizinin terimleri a1=log⁡3xa_1 = \log_3 x, a2=3a_2 = 3 ve a3=9log⁡3xa_3 = \frac{9}{\log_3 x} şeklinde elde edilir. Bu terimlerin toplamı 1313'e eşitlendiğinde log⁡3x=1\log_3 x = 1 ve log⁡3x=9\log_3 x = 9 olmak üzere iki kök bulunur. Dizinin artan olması için ortak çarpanın r>1r > 1 olması gerektiğinden a1=1a_1 = 1 ve r=3r = 3 durumunu sağlayan log⁡3x=1\log_3 x = 1 kökü kabul edilir. İlk 55 terimin toplamı ise S5=1⋅35−13−1=121S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 121 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin genel terim tanımını kullanarak ikinci ve üçüncü terimleri xx cinsinden ifade etmek.
a2=a1⋅r=log⁡3x⋅log⁡x27=log⁡327=3a_2 = a_1 \cdot r = \log_3 x \cdot \log_x 27 = \log_3 27 = 3 ve a3=a2⋅r=3⋅log⁡x27=3⋅log⁡327log⁡3x=9log⁡3xa_3 = a_2 \cdot r = 3 \cdot \log_x 27 = 3 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 x} = \frac{9}{\log_3 x}
Dizinin tüm terimlerini ortak bir logaritmik tabanda yazarak denklemi basitleştirmek.
2
İlk üç terimin toplamı olan S3=13S_3 = 13 eşitliğini kurmak.
a1+a2+a3=log⁡3x+3+9log⁡3x=13  ⟹  log⁡3x+9log⁡3x=10a_1 + a_2 + a_3 = \log_3 x + 3 + \frac{9}{\log_3 x} = 13 \implies \log_3 x + \frac{9}{\log_3 x} = 10
Bilinmeyen logaritmik ifadeyi belirlemek üzere bir denklem elde etmek.
3
log⁡3x=u\log_3 x = u dönüşümü yaparak oluşan rasyonel denklemi çözmek.
u+9u=10  ⟹  u2−10u+9=0  ⟹  (u−1)(u−9)=0  ⟹  u=1u + \frac{9}{u} = 10 \implies u^2 - 10u + 9 = 0 \implies (u-1)(u-9) = 0 \implies u = 1 veya u=9u = 9
İkinci dereceden denklemin köklerini bularak a1a_1 teriminin alabileceği değerleri tespit etmek.
4
Dizinin 'artan' olma koşulunu kullanarak uygun olan uu değerini seçmek.
u=9  ⟹  a1=9u = 9 \implies a_1 = 9 ve r=log⁡x27=3log⁡3x=39=13r = \log_x 27 = \frac{3}{\log_3 x} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} olur. Ortak çarpan r<1r < 1 olduğundan bu dizi azalandır.
u=1  ⟹  a1=1u = 1 \implies a_1 = 1 ve r=31=3r = \frac{3}{1} = 3 olur. Ortak çarpan r>1r > 1 olduğundan bu dizi artandır. Dolayısıyla a1=1a_1 = 1 ve r=3r = 3 değerleri seçilir.
Soruda verilen 'artan geometrik dizi' şartını sağlayan tek durumu belirlemek.
5
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ifadesini n=5n = 5 için uygulamak.
S5=1⋅35−13−1=243−12=121S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = 121
Dizinin ilk beş teriminin toplam değerini hesaplamak.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı ve logaritmik ifadelerde taban değiştirme kuralı.
Estimated Time:3m 0s
Question 5Question →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn terim toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin terimleri sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
S6−S4=4(S4−S2)S_6 - S_4 = 4(S_4 - S_2)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanının alabileceği farklı gerçel sayı değerlerinin çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Ortak çarpanın alabileceği farklı gerçel sayı değerlerinin çarpımı 4'tür.
Verilen S6−S4=4(S4−S2)S_6 - S_4 = 4(S_4 - S_2) denkleminde terimler geometrik dizi cinsinden açıldığında a1r4(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^4(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) eşitliğine ulaşılır. Burada a1≠0a_1 \neq 0 ve r≠0r \neq 0 olduğundan sadeleştirme sonrası denklem r2(1+r)−4(1+r)=0  ⟹  (1+r)(r2−4)=0r^2(1+r) - 4(1+r) = 0 \implies (1+r)(r^2-4) = 0 şeklini alır. Bu denklemi sağlayan rr gerçel sayı değerleri −1-1, 22 ve −2-2'dir. Bu değerlerin çarpımı (−1)⋅2⋅(−2)=4(-1) \cdot 2 \cdot (-2) = 4 olur.

Step-by-Step Solution

1
İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade edelim.
S6−S4=a5+a6S_6 - S_4 = a_5 + a_6 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 olur.
İlk n terim toplamının tanımı gereği, ilk 6 terim toplamından ilk 4 terim toplamı çıkarıldığında geriye 5. ve 6. terimler kalır.
2
Terimleri dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak çarpanı (rr) cinsinden yazıp ortak paranteze alalım.
a5+a6=a1r4+a1r5=a1r4(1+r)a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1+r)
a3+a4=a1r2+a1r3=a1r2(1+r)a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1+r)
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} ilişkisini kullanmak için.
3
Elde ettiğimiz ifadeleri verilen eşitlikte yerine koyalım ve sadeleştirelim.
a1r4(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^4(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) denklemi elde edilir. Dizinin terimleri sıfırdan farklı olduğundan a1≠0a_1 \neq 0 ve r≠0r \neq 0'dır. Eşitliğin her iki tarafını a1r2a_1 r^2 ile bölersek r2(1+r)=4(1+r)r^2(1+r) = 4(1+r) kalır.
Denklemi sadeleştirerek ortak çarpan rr için çözülebilir bir polinom haline getirmek için.
4
Olası kökleri kaybetmemek için denklemi tek bir tarafta toplayıp çarpanlarına ayıralım.
r2(1+r)−4(1+r)=0  ⟹  (1+r)(r2−4)=0  ⟹  (1+r)(r−2)(r+2)=0r^2(1+r) - 4(1+r) = 0 \implies (1+r)(r^2 - 4) = 0 \implies (1+r)(r-2)(r+2) = 0 denklemi bulunur.
1+r1+r ifadesini doğrudan sadeleştirmek yerine paranteze almak, 1+r=01+r=0 kökünün (kök kaybının) önüne geçer.
5
Çarpanları sıfıra eşitleyerek rr değerlerini bulalım ve bu değerleri çarpalım.
r=−1r = -1, r=2r = 2 ve r=−2r = -2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin çarpımı (−1)⋅2⋅(−2)=4(-1) \cdot 2 \cdot (-2) = 4 olarak hesaplanır.
Ortak çarpanın alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin çarpımını bulmak için.

Key Concept

Geometrik dizinin terim toplamları arasındaki fark ilişkileri ve cebirsel denklemlerin kök kaybı yaşanmadan çözülmesi
Estimated Time:2m 0s
Question 6Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S8−S6=4⋅(S4−S2)S_8 - S_6 = 4 \cdot (S_4 - S_2)

ve bu dizinin ilk iki teriminin toplamı 33 olduğuna göre, ilk 66 teriminin toplamı olan S6S_6 değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2121

Answer

İlk 6 terim toplamı olan 21
Dizinin terimlerinin toplamı formülü kullanılarak S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 eşitlikleri yazılır. Buradan ortak çarpan r=2r = \sqrt{2} olarak bulunur. a1+a2=a1(1+r)=3a_1 + a_2 = a_1(1+r) = 3 eşitliğinden a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) elde edilir. Son olarak S6=a1r6−1r−1S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} formülünde değerler yerine yazıldığında toplam 21 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
S8−S6S_8 - S_6 ve S4−S2S_4 - S_2 farklarını dizinin terimleri cinsinden yazınız.
S8−S6=a7+a8S_8 - S_6 = a_7 + a_8 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 ifadeleri elde edilir.
İlk nn terim toplamının tanımı gereği, ardışık toplamlar arasındaki fark o aralıktaki terimlerin toplamını verir.
2
Elde edilen terimleri ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulunuz.
a1r6(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^6(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) eşitliğinden r4=4r^4 = 4 ve pozitif terimli olduğu için r=2r = \sqrt{2} elde edilir.
Dizinin tüm terimleri pozitif olduğundan a1(1+r)≠0a_1(1+r) \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir.
3
a1+a2=3a_1 + a_2 = 3 bilgisini kullanarak a1a_1 değerini bulunuz.
a1(1+2)=3  ⟹  a1=3(2−1)a_1(1+\sqrt{2}) = 3 \implies a_1 = 3(\sqrt{2}-1) bulunur.
İlk terimi bulmak, ilk 6 terim toplamını hesaplamak için gereklidir.
4
Geometrik dizinin ilk 6 teriminin toplamını (S6S_6) hesaplayınız.
S6=a1r6−1r−1=3(2−1)(2)6−12−1=3⋅(8−1)=21S_6 = a_1 \frac{r^6 - 1}{r - 1} = 3(\sqrt{2}-1) \frac{(\sqrt{2})^6 - 1}{\sqrt{2}-1} = 3 \cdot (8 - 1) = 21 bulunur.
r=2r = \sqrt{2} ve a1=3(2−1)a_1 = 3(\sqrt{2}-1) değerleri geometrik dizi ilk nn terim toplam formülünde yerine koyulur.

Key Concept

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı (SnS_n) formülü ve terimler arası geçişlerin uygulanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 7Question →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6=21⋅S2S_6 = 21 \cdot S_2

ve bu dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 olduğuna göre, dizinin ilk 55 teriminin toplamı (S5S_5) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 155

Answer

Dizinin ilk 5 teriminin toplamı 155'tir.
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü kullanılarak S6/S2S_6 / S_2 oranı sadeleştirilmiş, elde edilen r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0 denkleminden dizinin pozitif terimli olması şartıyla ortak çarpan r=2r = 2 olarak bulunmuştur. Daha sonra a1=5a_1 = 5 ve r=2r = 2 değerleri S5S_5 formülünde yerine yazılarak doğru sonuç olan 155 elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
S6S_6 ve S2S_2 toplamlarını geometrik dizi toplam formülüyle oranlama
S6S2=r4+r2+1\frac{S_6}{S_2} = r^4 + r^2 + 1
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1} formülünü uygulayarak ortak terimleri sadeleştirmek.
2
Verilen oranı kullanarak r2r^2 cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde etme
r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0
S6S2=21\frac{S_6}{S_2} = 21 eşitliğini denklemde yerine koymak.
3
Denklemi çözerek ortak çarpan rr'yi bulma
r=2r = 2
(r2−4)(r2+5)=0(r^2-4)(r^2+5)=0 çarpanlara ayırmasından r2=4r^2=4 ve pozitif terimli dizi şartından r=2r=2 elde edilir.
4
İlk terim a1=5a_1=5 ve r=2r=2 değerleriyle S5S_5 toplamını hesaplama
S5=155S_5 = 155
S5=a1⋅r5−1r−1S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5-1}{r-1} formülünü uygulamak.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve sadeleştirme yöntemleri
Question 8Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S5−S3=12⋅a2S_5 - S_3 = 12 \cdot a_2
S4=45S_4 = 45

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

İlk terim 33 olarak bulunur.
İlk 5 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye a4+a5a_4 + a_5 kalır. Bu terimler ve a2a_2 ortak çarpan rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden yazıldığında r3+r2−12=0r^3 + r^2 - 12 = 0 denklemi elde edilir. Pozitif terimli dizi koşulundan r=2r = 2 bulunur. S4=a124−12−1=15a1=45S_4 = a_1 \frac{2^4-1}{2-1} = 15 a_1 = 45 eşitliğinden dizinin ilk terimi 33 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
S5−S3S_5 - S_3 farkını dizinin terimleri cinsinden ifade etmek.
S5−S3=a4+a5S_5 - S_3 = a_4 + a_5 elde edilir.
SnS_n ilk nn terimin toplamı olduğundan, ilk 5 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4. ve 5. terimler kalır.
2
a4a_4, a5a_5 ve a2a_2 terimlerini ilk terim a1a_1 ve ortak çarpan rr cinsinden yazıp denklemde yerine koymak.
a1⋅r3+a1⋅r4=12⋅a1⋅r⇒a1⋅r3(1+r)=12⋅a1⋅ra_1 \cdot r^3 + a_1 \cdot r^4 = 12 \cdot a_1 \cdot r \Rightarrow a_1 \cdot r^3 (1 + r) = 12 \cdot a_1 \cdot r elde edilir.
Geometrik dizide her terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklinde ifade edilir.
3
Elde edilen denklemden ortak çarpanı (rr) çözmek.
r2(1+r)=12⇒r=2r^2 (1 + r) = 12 \Rightarrow r = 2 bulunur.
Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılar olduğundan a1>0a_1 > 0 ve r>0r > 0 olmalıdır. r3+r2−12=0r^3 + r^2 - 12 = 0 denkleminin tek pozitif gerçel kökü r=2r = 2 sayısıdır.
4
S4=45S_4 = 45 bilgisini ve r=2r = 2 değerini kullanarak geometrik dizinin ilk terimini (a1a_1) bulmak.
S4=a1⋅r4−1r−1⇒45=a1⋅24−12−1⇒45=15⋅a1⇒a1=3S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \Rightarrow 45 = a_1 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \Rightarrow 45 = 15 \cdot a_1 \Rightarrow a_1 = 3 elde edilir.
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplam formülü ve ardışık terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.
Question 9Question →

Ortak çarpanı 11’den farklı olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Her n≥1n \ge 1 için
Sn+2−4Sn+1+3Sn=0S_{n+2} - 4S_{n+1} + 3S_n = 0

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin üçüncü terimi a3=36a_3 = 36 olduğuna göre, dizinin ilk 44 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 160

Answer

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri 160'tır.
Verilen yinelemeli bağıntıda geometrik dizinin ilk nn terim toplam formülü yerine yazıldığında, ortak çarpan rr değerini belirleyen r2−4r+3=0r^2 - 4r + 3 = 0 denklemi elde edilir. r≠1r \neq 1 olduğu için r=3r = 3 bulunur. Ardından a3=36a_3 = 36 bilgisi kullanılarak ilk terim a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır. Son adımda S4S_4 formülüyle dizinin ilk 44 teriminin toplamı 160 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk n terim toplam formülünü tanımlama
Sn=C(rn−1)S_n = C(r^n - 1) (burada C=a1r−1C = \frac{a_1}{r-1})
Verilen denklemde terim toplamlarını ortak çarpan cinsinden ifade etmek için
2
Formülü verilen yinelemeli bağıntıda yerine yazarak sadeleştirme yapma
C⋅rn(r2−4r+3)=0C \cdot r^n (r^2 - 4r + 3) = 0
Ortak çarpan rr değerini belirleyecek olan denklemi elde etmek için
3
Elde edilen denklemi çözerek ortak çarpanı bulma
r=3r = 3
r≠1r \neq 1 ve r≠0r \neq 0 koşullarını değerlendirerek doğru ortak çarpanı seçmek için
4
Verilen a3a_3 terimini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulma
a1=4a_1 = 4
Dizinin terimlerinin değerini belirlemek için
5
İlk 4 terim toplamı S4S_4'ü hesaplama
160
İstenen toplam değerine ulaşmak için

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} bağıntısı ve bu bağıntının cebirsel uygulamaları.
Estimated Time:2m 0s
Question 10Question →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayı olmak üzere,
S8S4=9781\frac{S_8}{S_4} = \frac{97}{81}
ve
S4=65S_4 = 65
olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Dizinin üçüncü terimi 12 olarak bulunur.
Dizinin terimlerinin pozitif olmasından yola çıkılarak ilk nn terim toplamı oranından ortak çarpan r=23r = \frac{2}{3} olarak bulunur. Ardından S4=65S_4 = 65 eşitliği kullanılarak dizinin ilk terimi a1=27a_1 = 27 olarak elde edilir. Bu iki değer geometrik dizi terim formülünde yerine yazıldığında üçüncü terim 12 değerini alır.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r} bağıntısını kullanarak S8S_8 ve S4S_4 oranını ortak çarpan rr cinsinden ifade ediniz.
S8S4=a1⋅1−r81−ra1⋅1−r41−r=1−r81−r4=1+r4\frac{S_8}{S_4} = \frac{a_1 \cdot \frac{1-r^8}{1-r}}{a_1 \cdot \frac{1-r^4}{1-r}} = \frac{1-r^8}{1-r^4} = 1 + r^4 elde edilir.
Bu oranlama işlemi sayesinde dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak çarpan paydası (1−r1-r) sadeleşerek doğrudan ortak çarpanı veren bağıntıya ulaşmamızı sağlar.
2
Elde edilen 1+r41 + r^4 ifadesini soruda verilen orana eşitleyerek ortak çarpan rr değerini bulunuz.
1+r4=9781  ⟹  r4=16811 + r^4 = \frac{97}{81} \implies r^4 = \frac{16}{81} olur. Dizinin terimleri pozitif gerçel sayılardan oluştuğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır. Buradan r=16814=23r = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3} elde edilir.
Dizinin genel terimini ve diğer terimlerini bulabilmek için ortak çarpanın belirlenmesi şarttır.
3
Bulunan r=23r = \frac{2}{3} değerini S4S_4 toplam formülünde yerine yazarak dizinin ilk terimini (a1a_1) hesaplayınız.
S4=a1⋅1−(2/3)41−2/3=a1⋅1−168113=a1⋅6581⋅3=a1⋅6527S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - (2/3)^4}{1 - 2/3} = a_1 \cdot \frac{1 - \frac{16}{81}}{\frac{1}{3}} = a_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = a_1 \cdot \frac{65}{27} elde edilir. S4=65S_4 = 65 olduğu bilindiğine göre, a1⋅6527=65  ⟹  a1=27a_1 \cdot \frac{65}{27} = 65 \implies a_1 = 27 bulunur.
Dizinin herhangi bir spesifik terimine ulaşabilmek için dizinin başlangıç terimi (a1a_1) hesaplanmalıdır.
4
İlk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) değerlerini geometrik dizinin genel terim formülünde yerine koyarak üçüncü terimi (a3a_3) hesaplayınız.
a3=a1⋅r2=27⋅(23)2=27⋅49=12a_3 = a_1 \cdot r^2 = 27 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12 elde edilir.
Soruda istenen üçüncü terim değerini bulmak için.

Key Concept

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Estimated Time:2m 0s
Question 11Question →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamının, sonraki üç teriminin toplamına oranı 127\frac{1}{27}'dir.

Dizinin ikinci terimi a2=6a_2 = 6 olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı (S4S_4) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

80
İlk üç terimin toplamı S3S_3 ile sonraki üç terimin toplamı olan r3⋅S3r^3 \cdot S_3 oranlandığında ortak çarpan r=3r = 3 olarak elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi a1=a2r=63=2a_1 = \frac{a_2}{r} = \frac{6}{3} = 2 bulunur. Bulunan bu değerler geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünde (Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}) yerine yazıldığında ilk 4 terimin toplamı 80 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk üç terimin toplamı ile sonraki üç terimin toplamı arasındaki oranı yazarak ortak çarpanı (rr) bulma.
İlk üç terimin toplamı S3=a1+a2+a3S_3 = a_1 + a_2 + a_3 şeklindedir. Sonraki üç terimin toplamı ise a4+a5+a6=a1r3+a2r3+a3r3=r3(a1+a2+a3)=r3⋅S3a_4 + a_5 + a_6 = a_1 r^3 + a_2 r^3 + a_3 r^3 = r^3(a_1 + a_2 + a_3) = r^3 \cdot S_3 olur. Bu iki toplamın oranı S3r3⋅S3=1r3=127\frac{S_3}{r^3 \cdot S_3} = \frac{1}{r^3} = \frac{1}{27} olarak verildiğinden r3=27r^3 = 27 ve buradan ortak çarpan r=3r = 3 bulunur.
Geometrik dizinin terimlerinin artış oranını (ortak çarpanı) belirlemek için.
2
Dizinin verilen ikinci teriminden (a2=6a_2 = 6) yararlanarak ilk terimi (a1a_1) bulma.
Geometrik dizilerde genel terim ilişkisi gereği a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r yazılır. Buradan 6=a1⋅3⇒a1=26 = a_1 \cdot 3 \Rightarrow a_1 = 2 bulunur.
Dizinin toplam formülünü uygulayabilmek için dizinin başlangıç terimini elde etmek gerekir.
3
İlk nn terim toplamı formülünü uygulayarak ilk 4 terimin toplamını (S4S_4) hesaplama.
Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülü ile hesaplanır. n=4n = 4 için S4=2⋅34−13−1=2⋅81−12=80S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 80 elde edilir.
Soruda bizden istenen ilk 4 terimin toplam değerini bulmak için.

Key Concept

Geometrik dizilerde terimlerin ortak çarpan parantezine alınması ve ilk n terim toplam formülü
Question 12Question →

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6−S4=9⋅(S4−S2)S_6 - S_4 = 9 \cdot (S_4 - S_2)

ve S3=26S_3 = 26 olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S_4 değeri 80'dir.
Verilen terim toplamı farkları oranlandığında ortak çarpan r=3r = 3 olarak elde edilir. S3=26S_3 = 26 bilgisi kullanılarak ilk terim a1=2a_1 = 2 bulunur. Buradan S4=S3+a4=26+54=80S_4 = S_3 + a_4 = 26 + 54 = 80 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade etme
S6−S4=a5+a6=a1r4+a1r5=a1r4(1+r)S_6 - S_4 = a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1 + r) ve S4−S2=a3+a4=a1r2+a1r3=a1r2(1+r)S_4 - S_2 = a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1 + r)
İlk n terim toplamı farkı, aradaki terimlerin toplamına eşittir.
2
Verilen denklemde ifadeleri yerine yazarak ortak çarpanı (r) bulma
r2=9r^2 = 9 ve pozitif terimli olduğu için r=3r = 3
a1r4(1+r)=9⋅a1r2(1+r)a_1 r^4(1 + r) = 9 \cdot a_1 r^2(1 + r) eşitliğinde pozitif terimlilikten ötürü a1(1+r)≠0a_1(1 + r) \neq 0 olduğundan sadeleştirme yapılarak r2=9r^2 = 9 bulunur.
3
S_3 toplamını kullanarak ilk terimi (a_1) bulma
a1=2a_1 = 2
S3=a1(1+r+r2)=a1(1+3+9)=13a1=26S_3 = a_1(1 + r + r^2) = a_1(1 + 3 + 9) = 13 a_1 = 26 eşitliği çözülür.
4
İlk 4 terim toplamını (S_4) hesaplama
S4=80S_4 = 80
S4=S3+a4=26+a1r3=26+2⋅33=26+54=80S_4 = S_3 + a_4 = 26 + a_1 r^3 = 26 + 2 \cdot 3^3 = 26 + 54 = 80 işlemiyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı ve terimler arası ortak çarpan ilişkisi
Question 13Question →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S4−S2=12S_4 - S_2 = 12
S2=3S_2 = 3

olduğuna göre, ortak çarpanı pozitif olan bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Dizinin ilk terimi 1'dir.
Dizinin ilk dört terim toplamının ilk iki terim toplamına oranı r2+1r^2 + 1 bağıntısına eşittir. Verilen değerlerden S4=15S_4 = 15 ve S2=3S_2 = 3 olduğundan bu oran 55'e eşit olur. r2+1=5⇒r=2r^2 + 1 = 5 \Rightarrow r = 2 bulunur. S2=a1(1+r)=3S_2 = a_1(1+r) = 3 eşitliğinde ortak çarpan yerine yazıldığında a1=1a_1 = 1 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü yazıp S4S_4 ve S2S_2 ifadelerini oranlayalım.
S4S2=r2+1\frac{S_4}{S_2} = r^2 + 1 bağıntıs�� elde edilir.
Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} formülünden S4=a1⋅1−r41−rS_4 = a_1 \cdot \frac{1 - r^4}{1 - r} ve S2=a1⋅1−r21−rS_2 = a_1 \cdot \frac{1 - r^2}{1 - r} yazılırsa, bu iki ifade oranlandığında 1−r41−r2=r2+1\frac{1 - r^4}{1 - r^2} = r^2 + 1 bulunur.
2
Verilen S4−S2=12S_4 - S_2 = 12 ve S2=3S_2 = 3 değerlerini kullanarak S4S_4 toplamını ve S4S2\frac{S_4}{S_2} oranını hesaplayalım.
S4=15S_4 = 15 ve r2+1=5r^2 + 1 = 5 eşitliğinden ortak çarpan r=2r = 2 bulunur.
S4=(S4−S2)+S2=12+3=15S_4 = (S_4 - S_2) + S_2 = 12 + 3 = 15 olur. Buradan oran S4S2=153=5\frac{S_4}{S_2} = \frac{15}{3} = 5 olarak elde edilir. r2+1=5⇒r2=4r^2 + 1 = 5 \Rightarrow r^2 = 4 olur. Ortak çarpan pozitif olduğundan r=2r = 2 bulunur.
3
Bulunan ortak çarpan r=2r = 2 ve S2=3S_2 = 3 değerini kullanarak dizinin ilk terimini (a1a_1) hesaplayalım.
a1=1a_1 = 1 bulunur.
S2=a1+a2=a1(1+r)S_2 = a_1 + a_2 = a_1(1 + r) şeklindedir. Değerleri yerine yazarsak 3=a1(1+2)⇒3=3a1⇒a1=13 = a_1(1 + 2) \Rightarrow 3 = 3a_1 \Rightarrow a_1 = 1 elde edilir.

Key Concept

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı
Estimated Time:2m 0s
Question 14Question →

İlk terimi a1a_1 ve ortak çarpanı rr olan pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S4=15⋅a1S_4 = 15 \cdot a_1

ve bu dizinin ortak çarpanı ilk terimine eşit (r=a1r = a_1) olduğuna göre, dizinin ilk 3 teriminin toplamı (S3S_3) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Dizinin ilk 3 teriminin toplamı 14'tür.
Formülün doğru uygulanması, elde edilen üçüncü dereceden denklemin kökünün doğru bulunması ve r=a1=2r = a_1 = 2 eşitliği kullanılarak S3S_3 toplamının doğru hesaplanması sonucunda 14 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü kullanarak S4S_4 ifadesini a1a_1 ve rr cinsinden yazmak.
S4=a1(r3+r2+r+1)S_4 = a_1(r^3 + r^2 + r + 1)
S4S_4 toplamını ortak çarpan ve ilk terim cinsinden ifade etmek için.
2
Soruda verilen S4=15⋅a1S_4 = 15 \cdot a_1 eşitliğini yerine koyup sadeleştirmek.
r3+r2+r−14=0r^3 + r^2 + r - 14 = 0 denklemi elde edilir.
rr ortak çarpanını bulmak amacıyla bir denklem oluşturmak için.
3
Denklemin pozitif gerçel kökünü bulmak.
r=2r = 2
Dizinin ortak çarpanını belirlemek için.
4
r=a1=2r = a_1 = 2 değerlerini kullanarak S3S_3 toplamını hesaplamak.
S3=14S_3 = 14
Soruda istenen ilk 3 terim toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı formülü ve terimler arası ilişkiler.
Question 15Question →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir. Bu dizinin ortak çarpanı r=3r = 3 ve

S5−S2=234S_5 - S_2 = 234

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Bu dizinin ilk terimi 2'dir.
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} kullanıldığında S5=121a1S_5 = 121a_1 ve S2=4a1S_2 = 4a_1 elde edilir. Bu iki toplamın farkı olan 117a1117a_1 değeri 234'e eşitlendiğinde ilk terim a1=2a_1 = 2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk n terim toplamı formülü kullanılarak S5S_5 ve S2S_2 ifadeleri belirlenir.
Geometrik dizide ilk nn terim toplamı Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle bulunur. r=3r = 3 için:
S5=a135−13−1=a12422=121a1S_5 = a_1 \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = a_1 \frac{242}{2} = 121 a_1
S2=a132−13−1=a182=4a1S_2 = a_1 \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = a_1 \frac{8}{2} = 4 a_1 elde edilir.
Verilen terimlerin toplam farkını ilk terim ve ortak çarpan cinsinden ifade etmek için.
2
Bu iki ifadenin farkı alınarak verilen sayısal değere eşitlenir.
S5−S2=121a1−4a1=117a1S_5 - S_2 = 121 a_1 - 4 a_1 = 117 a_1 olur.
117a1=234117 a_1 = 234 denklemi kurulur.
Dizinin ilk terimini (a1a_1) bulmamızı sağlayacak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi elde etmek için.
3
Elde edilen denklem çözülerek a1a_1 bulunur.
a1=234117=2a_1 = \frac{234}{117} = 2 bulunur.
Dizinin ilk terimini netleştirmek için.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı formülü Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} şeklindedir.
Estimated Time:1m 30s
Question 16Question →

Ortak çarpanı 22 olan bir geometrik dizinin ilk 66 teriminin toplamı, ilk 33 teriminin toplamından 112112 fazladır. Buna göre, bu dizinin ikinci terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Dizinin ikinci terimi 4'tür.
Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır. Dizinin ortak çarpanı r=2r = 2 olduğundan, ilk 6 teriminin toplamı S6=a1⋅(26−1)=63a1S_6 = a_1 \cdot (2^6 - 1) = 63a_1 ve ilk 3 teriminin toplamı S3=a1⋅(23−1)=7a1S_3 = a_1 \cdot (2^3 - 1) = 7a_1 olur. İki toplam arasındaki fark S6−S3=56a1=112S_6 - S_3 = 56a_1 = 112 olarak verildiğinden ilk terim a1=2a_1 = 2 bulunur. Buradan ikinci terim a2=a1⋅r=2⋅2=4a_2 = a_1 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü tanımlama
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
İlk 6 ve ilk 3 terim toplamların�� ilk terim ve ortak çarpan cinsinden ifade etmek için genel formül kurulur.
2
Ortak çarpan r=2r=2 değerini kullanarak S6S_6 ve S3S_3 toplamlarını a1a_1 cinsinden hesaplama
S6=63a1S_6 = 63a_1 ve S3=7a1S_3 = 7a_1
Verilen toplamları tek bir bilinmeyen olan a1a_1 parametresine indirgemek amacıyla r=2r = 2 değeri formülde yerine yazılır.
3
Verilen fark ilişkisini kullanarak ilk terim olan a1a_1 değerini bulma
56a1=112  ⟹  a1=256a_1 = 112 \implies a_1 = 2
Dizinin diğer terimlerini hesaplayabilmek için öncelikle birinci terim (a1a_1) bulunur.
4
Dizinin ikinci terimi olan a2a_2 değerini hesaplama
a2=2⋅2=4a_2 = 2 \cdot 2 = 4
Geometrik dizinin tanımı gereği ikinci terim, ilk terimin ortak çarpan ile çarpılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı formülünün uygulanması ve terimler arası geçiş
Question 17Question →

Bir laboratuvar ortamında bulunan bir bakteri türünün sayısı her bir saatin sonunda 33 katına çıkmaktadır. Başlangıçta (00. saatte) ortamda 22 adet bakteri bulunmaktadır.

Buna göre, 11. saatin sonundan 66. saatin sonuna kadar (11. ve 66. saatler dahil) her saatin sonunda ortamda bulunan bakteri sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2184

Answer

2184
Bakteri sayısı her saat sonunda 33 katına çıktığı için bu durum ortak çarpanı r=3r = 3 olan geometrik bir dizi belirtir. 11. saatin sonundaki bakteri sayısı dizinin ilk terimi olup a1=2×3=6a_1 = 2 \times 3 = 6 değerine eşittir. 11. saatin sonundan 66. saatin sonuna kadar olan toplam bakteri sayısı, bu dizinin ilk 66 teriminin toplamı olan S6S_6 değeridir. Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} olduğundan, S6=6⋅36−13−1=3⋅(729−1)=2184S_6 = 6 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 3 \cdot (729 - 1) = 2184 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin ilk terimini ve ortak çarpanını belirlemek
Dizinin ilk terimi a1=6a_1 = 6 ve ortak çarpanı r=3r = 3 olarak belirlenir.
Başlangıçta (00. saatte) 22 bakteri varken 11. saatin sonunda bakteri sayısı 33 katına çıkarak a1=2×3=6a_1 = 2 \times 3 = 6 olur. Her saatin sonunda bakteri sayısı 33 katına çıktığı için ortak çarpan r=3r = 3 olan bir geometrik dizi oluşur.
2
İstenen terimlerin toplamını formüle dökmek
S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1⋅r6−1r−1S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = a_1 \cdot \frac{r^6 - 1}{r - 1} toplamı hesaplanmalıdır.
11. saatin sonundan 66. saatin sonuna kadar olan toplam bakteri sayısı, bu dizinin ilk 66 teriminin toplamına (S6S_6) karşılık gelir.
3
Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplamak
S6=6⋅36−13−1=6⋅729−12=3⋅728=2184S_6 = 6 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 6 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 3 \cdot 728 = 2184 bulunur.
a1=6a_1 = 6 ve r=3r = 3 değerleri geometrik dizi toplam formülünde yerine yazılarak aritmetik işlemler tamamlanır.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü
Estimated Time:2m 0s
Question 18Question →

Ortak çarpanı pozitif bir gerçel sayı olan (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6−S3=7⋅a4S_6 - S_3 = 7 \cdot a_4

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Dizinin ortak çarpanı 2'dir.
İlk 6 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye a4+a5+a6a_4 + a_5 + a_6 kalır. Bu ifade a4a_4 cinsinden yazıldığında a4(1+r+r2)a_4(1 + r + r^2) olur. Soruda bu farkın 7a47a_4 değerine eşit olduğu belirtilmiştir. a4a_4 terimleri sadeleştirildiğinde 1+r+r2=71 + r + r^2 = 7 denklemi, buradan da r2+r−6=0r^2 + r - 6 = 0 elde edilir. Çarpanlara ayırma yöntemiyle kökler r=2r = 2 ve r=−3r = -3 olarak bulunur. Ortak çarpanın pozitif bir gerçel sayı olduğu belirtildiğinden doğru değer 2 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
İlk 6 terim toplamı ile ilk 3 terim toplamı arasındaki farkı dizi terimleri cinsinden ifade edin.
S6−S3=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)−(a1+a2+a3)=a4+a5+a6S_6 - S_3 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) - (a_1 + a_2 + a_3) = a_4 + a_5 + a_6
İlk nn terim toplamının tanımına göre, ilk 6 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4., 5. ve 6. terimler kalır.
2
Elde edilen terimleri geometrik dizinin ortak çarpanı olan rr türünden a4a_4 ortak parantezinde yazın.
a5=a4⋅ra_5 = a_4 \cdot r ve a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 olduğundan S6−S3=a4+a4⋅r+a4⋅r2=a4(1+r+r2)S_6 - S_3 = a_4 + a_4 \cdot r + a_4 \cdot r^2 = a_4(1 + r + r^2) olur.
Denklemdeki bilinmeyen sayısını azaltarak ortak çarpanı yalnız bırakabilmek için terimleri ortak bir çarpan parantezine almak gerekir.
3
Bulunan ifadeyi verilen eşitlikte yerine yazarak ortak çarpanı bulun.
a4(1+r+r2)=7⋅a4a_4(1 + r + r^2) = 7 \cdot a_4 eşitliğinde terimleri pozitif olan dizide a4≠0a_4 \neq 0 olduğundan sadeleştirme yapılırsa 1+r+r2=7  ⟹  r2+r−6=01 + r + r^2 = 7 \implies r^2 + r - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (r+3)(r−2)=0(r+3)(r-2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpan pozitif bir gerçel sayı olduğundan r=2r = 2 bulunur.
İkinci dereceden denklemi çözüp sorudaki pozitiflik şartını sağlayan ortak çarpan değerini belirlemek için.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı ile ardışık terimler arasındaki ilişkiyi kurma.
Question 19Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizide ilk nn terim toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4

olduğuna ve bu dizinin üçüncü terimi 1212 olduğuna göre, dizinin ilk terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Dizinin ilk terimi 3'tür.
Verilen geometrik dizi toplam formülünden elde edilen r8−1=17(r4−1)r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) denkleminden ortak çarpan r=2r = 2 bulunur. Üçüncü terim a3=a1⋅r2=12a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12 olduğundan a1⋅4=12  ⟹  a1=3a_1 \cdot 4 = 12 \implies a_1 = 3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk nn terim toplamı formülünü S8S_8 ve S4S_4 için yazmak
S8=a1⋅r8−1r−1S_8 = a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} ve S4=a1⋅r4−1r−1S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1}
Verilen S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4 eşitliğinde ortak çarpan rr değerini bulabilmek için genel toplam formülünden yararlanılır.
2
S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4 eşitliğini çözerek ortak çarpan rr'yi bulmak
a1⋅r8−1r−1=17⋅a1⋅r4−1r−1  ⟹  r8−1=17(r4−1)  ⟹  (r4−1)(r4+1)=17(r4−1)a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} = 17 \cdot a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \implies r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) \implies (r^4 - 1)(r^4 + 1) = 17(r^4 - 1). r≠1r \neq 1 ve terimler pozitif olduğundan, r4+1=17  ⟹  r4=16  ⟹  r=2r^4 + 1 = 17 \implies r^4 = 16 \implies r = 2 elde edilir.
Ortak çarpan rr belirlenerek dizinin terimleri arasındaki geçiş sağlanır.
3
Dizinin üçüncü terimi a3=12a_3 = 12 bilgisini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulmak
a3=a1⋅r2  ⟹  12=a1⋅22  ⟹  12=4a1  ⟹  a1=3a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 12 = a_1 \cdot 2^2 \implies 12 = 4a_1 \implies a_1 = 3
Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 ilişkisi kullanılarak ilk terim hesaplanır.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} şeklinde tanımlanır. Bu formül kullanılarak farklı terim toplamları oranlanıp ortak çarpan rr elde edilebilir.
Question 20Question →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S3=26S_3 = 26
S6=728S_6 = 728

olduğuna göre, bu dizinin ilk 44 teriminin toplamı (S4S_4) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı 80'dir.
Verilen geometrik dizide ilk 6 terimin toplamının ilk 3 terimin toplamına oranı, ortak çarpanın küpünün 1 fazlasını vermektedir. Bu orandan ortak çarpan 3, dizinin ilk terimi ise 2 olarak hesaplanır. İlk 4 terimin toplam formülü olan S_4 uygulanarak 80 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İlk 6 terim toplamının ilk 3 terim toplamına oranını yazarak ortak çarpan ile ilişkisini kurmak.
S_6 / S_3 = r^3 + 1
Geometrik dizi toplam formülü oranlandığında a_1 ve r - 1 çarpanları sadeleşir, geriye iki kare farkından r^3 + 1 kalır.
2
Oran değerini eşitleyerek dizinin ortak çarpanını hesaplamak.
r = 3
728 / 26 = 28 olduğundan r^3 + 1 = 28 eşitliği elde edilir, bu da r^3 = 27 ve r = 3 sonucunu verir.
3
İlk 3 terimin toplamını kullanarak dizinin ilk terimini bulmak.
a_1 = 2
S_3 = a_1 * (3^3 - 1) / (3 - 1) = 13 * a_1 = 26 denkleminden ilk terim bulunur.
4
Bulunan ilk terim ve ortak çarpanı toplam formülünde yerine koyarak S_4 değerini hesaplamak.
S_4 = 80
S_4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 80 işlemi gerçekleştirilir.

Key Concept

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve terimler arası oran bağıntıları.