Examkin

Question

Difficulty: HardArtan ve Azalan Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)=x33−4x2+5f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 5

olarak veriliyor.

Buna göre, pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Answer: 10

Answer

Fonksiyonun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Verilen f(x) fonksiyonunun türevi alınıp g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonuna zincir kuralı uygulandığında g'(x) = 2x(x - 2)(x - 4)(x + 2)(x - 1) türev fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun işaret tablosu oluşturulduğunda pozitif gerçel sayılar kümesindeki azalan aralıklar [0, 1] ve [2, 4] olarak belirlenir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4 olup toplamları 10 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
f(x) fonksiyonunun birinci türevini bulma
f′(x)=x2−8xf'(x) = x^2 - 8x
Bileşke fonksiyonun türevini alırken dıştaki fonksiyonun türevi kullanılacaktır.
2
g(x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama
g′(x)=2(x2−2x)(x2−2x−8)(x−1)g'(x) = 2(x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 8)(x - 1)
Bileşke fonksiyon türevlenirken içteki fonksiyonun türevi olan (2x - 2) terimi çarpan olarak eklenmelidir.
3
g'(x) = 0 denkleminin köklerini bularak kritik noktaları belirleme
x1=−2x_1 = -2, x2=0x_2 = 0, x3=1x_3 = 1, x4=2x_4 = 2, x5=4x_5 = 4
İşaret tablosunda kullanılacak sınır değerleri ve tek/çift katlı kök durumları bu noktalar üzerinden incelenir.
4
g'(x) için işaret tablosu oluşturarak türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeleri belirleme
Azalan olduğu bölgeler: (−∞,−2]∪[0,1]∪[2,4](-\infty, -2] \cup [0, 1] \cup [2, 4]
Bir fonksiyon türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda azalandır.
5
Tanım kümesine uygun pozitif tam sayıları seçip toplama
1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10
g(x) fonksiyonu pozitif gerçel sayılarda tanımlı olduğundan, azalan aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4'tür. 0 sayısı pozitif olmadığından işleme dahil edilmez.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda türev yardımıyla artanlık ve azalanlık durumunun incelenmesi.
Rate this question

Topics

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

More questions from this topic