Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizi ve Özellikleri
Bütün terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a52−a32=15a_5^2 - a_3^2 = 15
a4−a3=1a_4 - a_3 = 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi (a6a_6) kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Answer
  4. D
    12
  5. E
    16

Answer

8
Dizinin ortak çarpanı r=2r = 2 ve üçüncü terimi a3=1a_3 = 1 olarak elde edildiğinde, a6=a3⋅r3a_6 = a_3 \cdot r^3 formülünden altıncı terim 8 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak, a4a_4 ve a5a_5 terimlerini a3a_3 ve ortak çarpan rr cinsinden ifade edelim.
a4=a3⋅ra_4 = a_3 \cdot r ve a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 elde edilir.
Tüm terimleri tek bir terim (a3a_3) ve ortak çarpan (rr) cinsinden yazarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.
2
Bulduğumuz ifadeleri verilen denklemlerde yerine koyalım.
a4−a3=1  ⟹  a3(r−1)=1  ⟹  a3=1r−1a_4 - a_3 = 1 \implies a_3(r-1) = 1 \implies a_3 = \frac{1}{r-1} ve a52−a32=15  ⟹  a32(r4−1)=15a_5^2 - a_3^2 = 15 \implies a_3^2(r^4-1) = 15 elde edilir.
Denklemleri tek bir değişkene bağlı hale getirip ortak çözebilmek için.
3
a3=1r−1a_3 = \frac{1}{r-1} ifadesini ikinci denklemde yerine yazarak iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme yapalım.
(1r−1)2(r2−1)(r2+1)=15  ⟹  (r−1)(r+1)(r2+1)(r−1)2=15  ⟹  (r+1)(r2+1)r−1=15\left(\frac{1}{r-1}\right)^2 (r^2-1)(r^2+1) = 15 \implies \frac{(r-1)(r+1)(r^2+1)}{(r-1)^2} = 15 \implies \frac{(r+1)(r^2+1)}{r-1} = 15 elde edilir.
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirip çözülebilir bir r denklemi elde etmek için.
4
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyelim ve çözelim.
(r+1)(r2+1)=15(r−1)  ⟹  r3+r2+r+1=15r−15  ⟹  r3+r2−14r+16=0(r+1)(r^2+1) = 15(r-1) \implies r^3 + r^2 + r + 1 = 15r - 15 \implies r^3 + r^2 - 14r + 16 = 0 olur. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü r=2r = 2 olarak bulunur.
Dizinin ortak çarpanı olan r değerini belirlemek için.
5
r=2r = 2 değerini kullanarak dizinin üçüncü terimini (a3a_3) ve ardından bizden istenen altıncı terimini (a6a_6) hesaplayalım.
a3=12−1=1a_3 = \frac{1}{2-1} = 1 olur. Buradan a6=a3⋅r3=1⋅23=8a_6 = a_3 \cdot r^3 = 1 \cdot 2^3 = 8 bulunur.
Dizinin 6. teriminin değerine ulaşmak için.

Key Concept

Geometrik dizinin genel terimi ve ardışık terimleri arasındaki ilişkiler
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic