Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere D(−1,0)D(-1,0) noktasında teğet olan x=−1x = -1 doğrusu ile C(0,−1)C(0,-1) noktasında teğet olan y=−1y = -1 doğrusu çizilmiştir. Orijinden geçen ve pozitif xx-ekseniyle saat yönünün tersine θ\theta açısı yapan bir ışın, bu iki teğet doğrusunu sırasıyla TT ve KK noktalarında kesmektedir. θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğuna göre; x=−1x = -1 doğrusu, y=−1y = -1 doğrusu ve bu ışın arasında kalan sınırlı bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. A
    (sin⁡θ+cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}
  2. B
    sin⁡2θ−cos⁡2θ2sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin^2\theta - \cos^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta}
  3. (sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}Answer
  4. D
    cos⁡2θ−sin⁡2θ2sin⁡θcos⁡θ\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta}
  5. E
    1−sin⁡θcos⁡θ2sin⁡θcos⁡θ\frac{1 - \sin\theta\cos\theta}{2\sin\theta\cos\theta}

Answer

Dik kenar uzunluklarının doğru mutlak değer analiziyle hesaplanıp çarpılması sonucu elde edilen ve sadeleştirilmiş biçimi (sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta} olan seçenektir.
Köşe koordinatları belirlenen dik üçgenin dik kenar uzunlukları doğru işaret analiziyle mutlak değer dışına çıkarılarak çarpılmış ve yarısı alınmıştır. Elde edilen cebirsel ifade sinüs ve kosinüs cinsinden yazılıp payda eşitlendiğinde, pay kısmı (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)^2 tam kare ifadesine eşit olur ve alan (sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta} olarak sadeleşir.

Step-by-Step Solution

1
Işının denklemini belirleme
Orijinden geçen ve pozitif xx-ekseniyle θ\theta açısı yapan ışının denklemi y=(tan⁡θ)xy = (\tan\theta)x olarak bulunur.
Işın üzerindeki noktaların koordinatlarını teğet doğruları üzerindeki izdüşümleriyle ilişkilendirmek için denklem gereklidir.
2
Kesişim noktalarının koordinatlarını hesaplama
TT noktasının koordinatları T(−1,−tan⁡θ)T(-1, -\tan\theta) ve KK noktasının koordinatlar�� K(−cot⁡θ,−1)K(-\cot\theta, -1) olarak elde edilir.
Sınırlı bölgeyi oluşturan üçgenin köşe noktalarını belirlemek için ışın ile teğet doğrularının kesişim noktaları bulunur.
3
Dik kenar uzunluklarını bulma
Üçüncü bölgede θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında tan⁡θ>0\tan\theta > 0 ve cot⁡θ>0\cot\theta > 0 olduğundan; dikey kenar ∣ST∣=∣−tan⁡θ−(−1)∣=∣tan⁡θ−1∣|ST| = |-\tan\theta - (-1)| = |\tan\theta - 1| ve yatay kenar ∣SK∣=∣−cot⁡θ−(−1)∣=∣cot⁡θ−1∣|SK| = |-\cot\theta - (-1)| = |\cot\theta - 1| olur.
Dik üçgenin alanını hesaplayabilmek için kenar uzunluklarının mutlak değerce doğru uzunluklarını belirlemek gerekir.
4
Alan formülünü uygulama ve sadeleştirme
Alan = 12∣tan⁡θ−1∣∣cot⁡θ−1∣=tan⁡θ+cot⁡θ−22\frac{1}{2} |\tan\theta - 1| |\cot\theta - 1| = \frac{\tan\theta + \cot\theta - 2}{2} elde edilir.
Kenarlar çarpılıp ikiye bölünür. tan⁡θ+cot⁡θ≥2\tan\theta + \cot\theta \ge 2 olduğundan mutlak değer dışına pozitif olarak çıkarılır.
5
İfadeyi sinüs ve kosinüs cinsinden yazma
Alan = sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ−22=sin⁡2θ+cos⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ2sin⁡θcos⁡θ=(sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - 2}{2} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta} bulunur.
Seçeneklerdeki trigonometrik biçime ulaşmak için payda eşitleme ve tam kare özdeşliği uygulanır.

Key Concept

Birim çember üzerindeki teğet doğruları ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi ile geometrik uzunluk hesabı

Alternative Method

Alternatif olarak, köşe noktaları S(−1,−1)S(-1,-1), T(−1,−tan⁡θ)T(-1, -\tan\theta) ve K(−cot⁡θ,−1)K(-\cot\theta, -1) olan dik üçgenin alanı, koordinat düzleminde SS köşesindeki diklik dikkate alınarak doğrudan ∣xS−xK∣⋅∣yS−yT∣/2|x_S - x_K| \cdot |y_S - y_T| / 2 formülüyle hesaplanabilir ve ardından tan⁡θ=s/c\tan\theta = s/c, cot⁡θ=c/s\cot\theta = c/s dönüşümleriyle seçeneklerdeki forma getirilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic