Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−4)2(x−6)(x−4)(x−1)≤0\frac{(x-4)^2(x-6)}{(x-4)(x-1)} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

  1. 11Answer
  2. B
    12
  3. C
    15
  4. D
    16
  5. E
    20

Answer

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 11'dir.
Eşitsizliğin paydasını sıfır yapan x=1x = 1 ve x=4x = 4 değerleri çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Bu durumda elde edilen en geniş çözüm kümesi (−∞,1)∪(4,6](-\infty, 1) \cup (4, 6] olur. Bu kümedeki pozitif tam sayılar olan 55 ve 66 sayılarının toplamı 1111 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlik ifadesini sadeleştirmek ve tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi için payda sıfırdan farklı olmalıdır. Buradan x−4≠0  ⟹  x≠4x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 ve x−1≠0  ⟹  x≠1x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 elde edilir. Bu kısıtlamalar altında x−4x-4 terimleri sadeleştirilebilir ve eşitsizlik (x−4)(x−6)x−1≤0\frac{(x-4)(x-6)}{x-1} \leq 0 halini alır.
Paydayı sıfır yapan noktalar ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
2
Eşitsizliğin köklerini bulmak
Kritik noktalar payın kökleri olan x=4x = 4, x=6x = 6 ve paydanın kökü olan x=1x = 1 değerleridir. Tüm kökler tek katlı köktür.
İşaret tablosunda kullanılacak olan sınırları belirlemek gerekir.
3
İşaret tablosunu oluşturmak
En sağdaki aralıkta (x>6x > 6) ifadenin işareti pozitiftir (+)(+). Köklerden geçildikçe işaretler sağdan sola sırasıyla ++, −-, ++, −- şeklinde değişir. Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya eşit olmasını istediğimizden negatif bölgeler seçilir.
İfadenin negatif olduğu en geniş çözüm aralığını tespit etmek gerekir.
4
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları toplamak
Bulunan en geniş çözüm kümesi (−∞,1)∪(4,6](-\infty, 1) \cup (4, 6] şeklindedir. Bu kümedeki pozitif tam sayılar sadece 55 ve 66'dır. Toplamları ise 5+6=115 + 6 = 11 olur.
Soruda istenen pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak gerekir.

Key Concept

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken tanım kümesi kısıtlamasının korunması ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi