Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizi ve Özellikleri

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk üç terimi sırasıyla x−1x - 1, x+3x + 3 ve 3x+13x + 1 olduğuna göre, bu dizinin 5. terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    18
  2. B
    32
  3. 64Answer
  4. D
    128
  5. E
    20

Answer

64
Ardışık üç terimi sırasıyla x−1x-1, x+3x+3 ve 3x+13x+1 olan geometrik dizide ortadaki terimin karesi diğer iki terimin çarpımına eşittir. Buradan (x+3)2=(x−1)(3x+1)(x+3)^2 = (x-1)(3x+1) denklemi çözüldüğünde x=5x=5 veya x=−1x=-1 bulunur. Seçeneklerde yer alan değerleri bulmak adına x=5x=5 durumu incelenirse; dizinin ilk terimi a1=4a_1=4, ikinci terimi a2=8a_2=8 ve ortak çarpanı r=2r=2 olur. Buradan dizinin 5. terimi a5=a1⋅r4=4⋅16=64a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 16 = 64 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizi tanımına göre ardışık üç terim arasındaki ilişkiyi kurma
(x+3)2=(x−1)(3x+1)(x + 3)^2 = (x - 1)(3x + 1)
Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir (a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3).
2
Elde edilen denklemi açıp düzenleyerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturma
x2+6x+9=3x2−2x−1⇒2x2−8x−10=0⇒x2−4x−5=0x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1 \Rightarrow 2x^2 - 8x - 10 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0
Kökleri bulabilmek için tüm terimleri bir tarafa toplayıp sadeleştirme yapmamız gerekir.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak x değerlerini bulma
(x−5)(x+1)=0⇒x=5(x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 5 veya x=−1x = -1
Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemi sağlayan x değerlerini elde ederiz.
4
x=5x = 5 değeri için dizinin ilk üç terimini ve ortak çarpanı hesaplama
a1=4a_1 = 4, a2=8a_2 = 8, a3=16a_3 = 16 ve ortak çarpan r=a2a1=2r = \frac{a_2}{a_1} = 2
Bulunan x değerini yerine yazarak dizinin terimlerine ve ortak çarpanına ulaşırız.
5
Genel terim formülüyle dizinin 5. terimini bulma
a5=a1⋅r4=4⋅24=4⋅16=64a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 2^4 = 4 \cdot 16 = 64
Geometrik dizilerde an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülü kullanılarak 5. terim hesaplanır.

Key Concept

Geometrik dizide ardışık terimler arasındaki ilişki (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}) ve genel terim formülü (an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1})
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic