Examkin

Question

Difficulty: EasyMaksimum ve Minimum Problemleri

Bir dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Answer: -1/4 / -0,25 / -0.25

Answer

Parabol üzerindeki koordinatların toplamının en küçük değeri −1/4-1/4 olur.
Parabol üzerindeki noktalar P(x,x2)P(x, x^2) biçimindedir. Bu noktanın koordinatları toplamı f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x fonksiyonunu tanımlar. Bu fonksiyonun türevi f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 olup, türevin sıfır olduğu x=−1/2x = -1/2 değerinde fonksiyon en küçük değerine ulaşır. En küçük değer ise f(−1/2)=−1/4f(-1/2) = -1/4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Parabol üzerindeki herhangi bir noktayı değişken cinsinden ifade edin.
y=x2y = x^2 olduğundan, parabol üzerindeki bir nokta P(x,x2)P(x, x^2) şeklinde yazılır.
Nokta parabol üzerinde bulunduğundan ordinat değeri apsisin karesine eşittir.
2
Koordinatlar toplamını veren fonksiyonu tanımlayın.
f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
P(x,x2)P(x, x^2) noktasının koordinatları toplamı x+y=x+x2x + y = x + x^2 ifadesine karşılık gelir.
3
Tanımlanan fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek en küçük değeri veren xx değerini bulun.
f′(x)=2x+1=0  ⟹  x=−12f'(x) = 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
Bir fonksiyonun yerel ekstremum değerleri, türevin sıfır olduğu kritik noktalarda oluşur.
4
Bulunan xx değerini fonksiyonda yerine yazarak en küçük değeri hesaplayın.
f(−12)=(−12)2+(−12)=14−12=−14f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}
Kritik noktadaki fonksiyon değeri, koordinatlar toplamının alabileceği en küçük değeri verir.

Key Concept

Bir parabol üzerindeki değişken bir noktanın koordinat ilişkisi kurulduktan sonra toplamı veren fonksiyonun türevi yardımıyla minimum değeri hesaplanır.
Rate this question

Topics

Maksimum ve Minimum Problemleri

More questions from this topic