Examkin

Question

Difficulty: HardParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−8f(x) = x^2 - 2x - 8 fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC (CC noktası yy-ekseni üzerindedir) olarak adlandırılıyor. Köşeleri bu AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin diklik merkezi HH noktası olduğuna göre, HH noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
  1. A
    -8
  2. B
    -6
  3. C
    -2
  4. -1Answer
  5. E
    1

Answer

Diklik merkezinin koordinatları toplamı -1'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(-2, 0), B(4, 0) ve C(0, -8) olarak bulunur. AB kenarı x-ekseni üzerinde olduğu için C köşesinden çizilen yükseklik y-eksenidir. Dolayısıyla diklik merkezi y-ekseni üzerinde, yani apsisi 0 olan bir H(0, y) noktasıdır. BC doğrusunun eğimi 2 olduğundan, A köşesinden inen yüksekliğin eğimi -1/2'dir. A(-2, 0) noktasından geçen ve eğimi -1/2 olan doğrunun denklemi y = -1/2(x+2) olup, bu doğrunun y-eksenini kestiği nokta H(0, -1) olur. Koordinatları toplamı ise -1'dir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
A(-2, 0), B(4, 0) ve C(0, -8)
x-eksenini kestiği noktaları bulmak için y = 0 yazılarak x^2 - 2x - 8 = 0 denkleminin kökleri x = -2 ve x = 4 bulunur. y-eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 yazılarak y = -8 bulunur.
2
Diklik merkezinin apsisini bulma
H noktasının apsisi x = 0'dır.
A ve B noktaları x-ekseni üzerinde olduğundan, ABC üçgeninin AB kenarı x-ekseni üzerindedir. C(0, -8) noktasından AB kenarına inen yükseklik y-ekseni üzerindedir. Diklik merkezi yüksekliklerin kesim noktası olduğundan y-ekseni üzerinde olmalıdır, bu yüzden apsisi 0'dır.
3
A noktasından BC kenarına inen yüksekliğin denklemini bulma ve ordinatı belirleme
Yüksekliğin denklemi y = -1/2(x + 2) ve H noktasının ordinatı y = -1'dir.
B(4, 0) ve C(0, -8) noktalarından geçen BC doğrusunun eğimi m_BC = (0 - (-8)) / (4 - 0) = 2'dir. A(-2, 0) noktasından inen yükseklik BC doğrusuna dik olduğundan eğimi m = -1/2'dir. Bu yüksekliğin denklemi y - 0 = -1/2(x - (-2)) olur. H noktasının apsisi 0 olduğundan denklemde x = 0 yazılarak ordinat y = -1 bulunur.
4
Koordinatlar toplamını hesaplama
0 + (-1) = -1
Bulunan H(0, -1) noktasının koordinatları toplanır.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulma ve koordinat düzleminde diklik merkezi özelliklerini uygulama.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic