Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizide ilk n terim toplamı S_n il… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizide ilk $n$ terim toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_8 = 17 \cdot S_4

olduğuna ve bu dizinin üçüncü terimi $12$ olduğuna göre, dizinin ilk terimi kaçtır?

Answer: 3

Dizinin ilk terimi 3'tür.

Verilen geometrik dizi toplam formülünden elde edilen

r^8 - 1 = 17(r^4 - 1)

denkleminden ortak çarpan

r = 2

bulunur. Üçüncü terim

a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12

olduğundan

a_1 \cdot 4 = 12 \implies a_1 = 3

bulunur.

İlk

n

terim toplamı formülünü

S_8

S_4

için yazmak

S_8 = a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1}

S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1}

Verilen

S_8 = 17 \cdot S_4

eşitliğinde ortak çarpan

r

değerini bulabilmek için genel toplam formülünden yararlanılır.

S_8 = 17 \cdot S_4

eşitliğini çözerek ortak çarpan

r

'yi bulmak

a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} = 17 \cdot a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \implies r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) \implies (r^4 - 1)(r^4 + 1) = 17(r^4 - 1)

r \neq 1

ve terimler pozitif olduğundan,

r^4 + 1 = 17 \implies r^4 = 16 \implies r = 2

elde edilir.

Ortak çarpan

r

belirlenerek dizinin terimleri arasındaki geçiş sağlanır.

Dizinin üçüncü terimi

a_3 = 12

bilgisini kullanarak ilk terim olan

a_1

'i bulmak

a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 12 = a_1 \cdot 2^2 \implies 12 = 4a_1 \implies a_1 = 3

Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki

a_3 = a_1 \cdot r^2

ilişkisi kullanılarak ilk terim hesaplanır.

Geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplam formülü

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

şeklinde tanımlanır. Bu formül kullanılarak farklı terim toplamları oranlanıp ortak çarpan

r

elde edilebilir.

Question