Examkin

Question

Difficulty: HardParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları
aa bir gerçel sayı olmak üzere, [0,2][0, 2] kapalı aralığında tanımlı
f(x)=−x2+2ax+a2−4af(x) = -x^2 + 2ax + a^2 - 4a
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 55'tir.

Buna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -4
  2. B
    -1
  3. 2Answer
  4. D
    3
  5. E
    4

Answer

2
Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan, tepe noktası aralığın dışında kaldığında fonksiyon monoton (sürekli artan veya azalan) davranır. Tepe noktasının konumu a<0a < 0 olduğunda fonksiyon azalan olup en büyük değerini x=0x = 0 noktasında alır; buradan a=−1a = -1 bulunur. Tepe noktasının konumu a>2a > 2 olduğunda ise fonksiyon artan olup en büyük değerini x=2x = 2 noktasında alır; buradan da a=3a = 3 elde edilir. Bu iki geçerli değerin toplamı 2'dir.

Step-by-Step Solution

1
Tepe noktasının apsisini (rr) bulunuz.
r=−b2a=−2a2(−1)=ar = -\frac{b}{2a} = -\frac{2a}{2(-1)} = a
Parabolün kapalı aralıktaki en büyük değerini bulmak için tepe noktasının aralığa göre konumunu incelemeliyiz.
2
Tepe noktasının aralığın solunda olduğu durumu (a<0a < 0) inceleyiniz.
f(0)=5  ⟹  a2−4a=5  ⟹  a2−4a−5=0  ⟹  a=−1f(0) = 5 \implies a^2 - 4a = 5 \implies a^2 - 4a - 5 = 0 \implies a = -1 veya a=5a = 5. Koşuldan ötürü a=−1a = -1 alınır.
a<0a < 0 iken fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalandır, en büyük değer sol uç nokta olan x=0x = 0 için gerçekleşir.
3
Tepe noktasının aralığın içinde olduğu durumu (0≤a≤20 \le a \le 2) inceleyiniz.
f(a)=5  ⟹  2a2−4a−5=0  ⟹  a=1±142f(a) = 5 \implies 2a^2 - 4a - 5 = 0 \implies a = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}. Kökler [0,2][0, 2] aralığının dışındadır, çözüm yoktur.
Tepe noktası aralığın içindeyken en büyük değer parabolün tepe noktasında (x=ax = a) oluşur.
4
Tepe noktasının aralığın sağında olduğu durumu (a>2a > 2) inceleyiniz.
f(2)=5  ⟹  a2−4=5  ⟹  a2=9  ⟹  a=3f(2) = 5 \implies a^2 - 4 = 5 \implies a^2 = 9 \implies a = 3 veya a=−3a = -3. Koşuldan ötürü a=3a = 3 alınır.
a>2a > 2 iken fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında artandır, en büyük değer sağ uç nokta olan x=2x = 2 için gerçekleşir.
5
Bulunan geçerli aa değerlerini toplayınız.
(−1)+3=2(-1) + 3 = 2
Soruda istenen, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamıdır.

Key Concept

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralığa göre konumunun incelenmesi
Rate this question

Topics

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

More questions from this topic