Examkin

Question

Difficulty: HardParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde, mm bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2(m+1)x+m2+2m−3f(x) = x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3
parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC'dir.

Bu parabolün tepe noktası TT olmak üzere, köşeleri bu noktalar olan ABCABC üçgeninin alanı, ABTABT üçgeninin alanının yarısına eşittir.

Buna göre, mm gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. A
    -5
  2. B
    -1
  3. C
    1
  4. 5Answer
  5. E
    9

Answer

m gerçel sayısın��n alabileceği farklı değerlerin çarpımı 5'tir.
Doğru seçenekte belirtilen 5 değeri, parabolün eksen kesim noktaları ve tepe noktası ile oluşturulan üçgenlerin alan bağıntılarından elde edilen mutlak değerli denklemlerin gerçel köklerinin çarpımıdır. İki ayrı durumdan gelen gerçel köklerin çarpımları sırasıyla -5 ve -1 olup, bu iki değerin çarpımı bize 5 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
Tepe noktası T(m+1,−4)T(m+1, -4) olarak elde edilir.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2a=m+1r = -\frac{b}{2a} = m+1 formülüyle bulunur. Ordinatı ise k=f(m+1)=(m+1)2−2(m+1)2+m2+2m−3=−4k = f(m+1) = (m+1)^2 - 2(m+1)^2 + m^2 + 2m - 3 = -4 şeklinde hesaplanır.
2
Parabolün x eksenini kestiği noktaları ve aralarındaki uzaklığı belirlemek.
Kesişim noktaları A(m−1,0)A(m-1, 0) ve B(m+3,0)B(m+3, 0) olup, ∣AB∣=4|AB| = 4 birimdir.
f(x)=(x−(m+1))2−4=0f(x) = (x - (m+1))^2 - 4 = 0 denkleminin çözümüyle x−(m+1)=±2x - (m+1) = \pm 2 bulunur. Buradan kökler x1=m−1x_1 = m-1 ve x2=m+3x_2 = m+3 olur.
3
ABT üçgeninin alanını hesaplamak.
Alan(ABT) = 8 birimkare.
Taban uzunluğu ∣AB∣=4|AB| = 4 birim ve bu tabana ait yükseklik tepe noktasının ordinatının mutlak değeri olan ∣−4∣=4|-4| = 4 birimdir. Alan formülünden 4×42=8\frac{4 \times 4}{2} = 8 elde edilir.
4
ABC üçgeninin alanını veren denklemi kurmak.
∣m2+2m−3∣=2|m^2 + 2m - 3| = 2 denklemi elde edilir.
Soruda verilen bilgiye göre Alan(ABC) = Alan(ABT)2=4\frac{\text{Alan}(ABT)}{2} = 4 birimkaredir. Parabolün y eksenini kestiği nokta C(0,m2+2m−3)C(0, m^2 + 2m - 3)'tür. Alan(ABC) = 12×∣AB∣×∣yC∣=2∣m2+2m−3∣=4\frac{1}{2} \times |AB| \times |y_C| = 2|m^2 + 2m - 3| = 4 olmalıdır.
5
Mutlak değerli denklemi çözerek m değerlerinin çarpımını bulmak.
Tüm gerçel m değerlerinin çarpımı 5 olarak bulunur.
Denklemin iki durumu vardır: 1) m2+2m−3=2⇒m2+2m−5=0m^2 + 2m - 3 = 2 \Rightarrow m^2 + 2m - 5 = 0 (kökler gerçeldir, Δ>0\Delta > 0, çarpımı −5-5'tir). 2) m2+2m−3=−2⇒m2+2m−1=0m^2 + 2m - 3 = -2 \Rightarrow m^2 + 2m - 1 = 0 (kökler gerçeldir, Δ>0\Delta > 0, çarpımı −1-1'dir). Tüm köklerin çarpımı (−5)×(−1)=5(-5) \times (-1) = 5 olur.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması, tepe noktası koordinatları ve eksen kesim noktalarının oluşturduğu geometrik alanların analitik hesabı.
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic