Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)=13x3−(a−1)x2+4x+5f(x) = \frac{1}{3}x^3 - (a-1)x^2 + 4x + 5

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktası olmadığına göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    0
  2. B
    3
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    9

Answer

a sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 5'tir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, fonksiyonun türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olmasını sağlayan diskriminant koşulunun doğru çözülmesi ve elde edilen [−1,3][-1, 3] aralığındaki tam sayıların toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=x2−2(a−1)x+4f'(x) = x^2 - 2(a-1)x + 4
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının varlığı ve karakteri, türevinin işaret değiştirdiği noktalar incelenerek belirlenir.
2
Yerel ekstremum noktasının olmaması için gereken şartı belirleyin.
f′(x)f'(x) ifadesinin işaret değiştirmemesi gerekir. Başkatsayısı pozitif olan bu ikinci dereceden ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminant Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
Eğer türev fonksiyonu işaret değiştirirse, işaret değiştirdiği noktalarda yerel maksimum veya yerel minimum noktaları oluşur. İşaret değiştirmemesi için reel kökünün olmaması veya yalnızca çift katlı kökünün olması gerekir.
3
Diskriminant eşitsizliğini kurun ve çözün.
Δ=[−2(a−1)]2−4⋅1⋅4≤0  ⟹  4(a−1)2−16≤0  ⟹  (a−1)2≤4  ⟹  −2≤a−1≤2  ⟹  −1≤a≤3\Delta = [-2(a-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \leq 0 \implies 4(a-1)^2 - 16 \leq 0 \implies (a-1)^2 \leq 4 \implies -2 \leq a-1 \leq 2 \implies -1 \leq a \leq 3
Diskriminant formülü Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac kullanılarak parametreye bağlı eşitsizlik elde edilir ve çözülür.
4
Parametrenin alabileceği tam sayı değerlerini belirleyip toplayın.
Alınabilecek tam sayı değerleri −1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3 olup, toplamları −1+0+1+2+3=5-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 olur.
Bulunan [−1,3][-1, 3] aralığındaki tam sayılar tespit edilerek toplamları hesaplanır.

Key Concept

Bir fonksiyonun türevinin işaret değiştirmediği noktalarda yerel ekstremum noktası bulunmaz. İkinci dereceden bir fonksiyonun daima aynı işaretli kalması için diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit olması gerekir.
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic