Examkin

Question

Difficulty: EasyYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
  1. A
    -3
  2. -1Answer
  3. C
    1
  4. D
    3
  5. E
    5

Answer

Yerel maksimum noktasının apsisi -1 değeridir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x-3)(x+1) ifadesinin işaret tablosunda, x=−1x = -1 noktasında türevin işareti artıdan eksiye geçmektedir. Bu durum, fonksiyonun bu noktada artanlıktan azalanlığa geçtiğini ve dolayısıyla yerel maksimum değerine ulaştığını gösterir. Bu nedenle doğru cevap -1 olan seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının yerini bulmak amacıyla türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek için türev fonksiyonu hesaplanır.
2
Türevin köklerini bulmak için türev ifadesi sıfıra eşitlenir.
3x2−6x−9=0  ⟹  3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03x^2 - 6x - 9 = 0 \implies 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan kritik noktalar, yerel ekstremum noktası olmaya aday noktalardır.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0, −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
Türevin işaret değişimi incelenerek hangi kritik noktanın yerel maksimum veya yerel minimum olduğu saptanır.
4
İşaret tablosuna göre yerel maksimum noktası belirlenir.
x=−1x = -1 apsisli noktada türevin işareti pozitiften negatife (++'dan −-'ye) geçtiği için fonksiyon bu noktada yerel maksimuma ulaşır.
Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği nokta fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.

Key Concept

Polinom fonksiyonların yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevin sıfır olduğu yerlerde işaret değişimi incelenir. Türevin işaretinin pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.
Estimated Time:50s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic