Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesinin x≠4x \neq 4 koşulunu sağlayan elemanları üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=x2−3xx−4f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. 8Answer
  5. E
    12

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 8'dir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=x2−8x+12(x−4)2f'(x) = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2} ifadesini sıfır yapan ve fonksiyonun tanımlı olduğu noktaların apsisleri 22 ve 66 olup, bu noktaların her ikisinde de türev işaret değiştirmektedir. Bu nedenle yerel ekstremum apsisleri toplamı 2+6=82 + 6 = 8 olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini bölümün türevi kuralını kullanarak hesaplayın.
f′(x)=(2x−3)(x−4)−(x2−3x)⋅1(x−4)2=x2−8x+12(x−4)2f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2}
Yerel ekstremum noktalarının adaylarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun birinci türevini bulmamız gerekir.
2
Türevi sıfıra eşitleyen noktaları bulun.
x2−8x+12=0  ⟹  (x−2)(x−6)=0x^2 - 8x + 12 = 0 \implies (x - 2)(x - 6) = 0 denkleminden x=2x = 2 ve x=6x = 6 bulunur.
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Bulunan kritik noktaların tanım kümesinde olup olmadığını ve türevin bu noktalarda işaret değiştirip değiştirmediğini inceleyin.
x=2x = 2 ve x=6x = 6 noktaları tanım kümesindedir (2≠42 \neq 4 ve 6≠46 \neq 4). f′(x)f'(x)'in paydası (x−4)2>0(x-4)^2 > 0 olduğundan işaret değişimi sadece payın köklerinde olur. Tabloya göre x=2x = 2 yerel maksimum, x=6x = 6 ise yerel minimum noktasıdır.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktada tanımlı olması ve türevinin o noktada işaret değiştirmesi şarttır.
4
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini toplayın.
2+6=82 + 6 = 8 bulunur.
Bizden yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı istenmiştir.

Key Concept

Bir rasyonel fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun türevi alınır, türevi sıfır yapan noktalar belirlenir ve bu noktalarda türevin işaret değiştirip değiştirmediği (ekstremum olma koşulu) kontrol edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic