Examkin

Question

Difficulty: Very hardİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Her xx gerçel sayısı için (m−2)x2−2(m−2)x+3>0(m-2)x^2 - 2(m-2)x + 3 > 0 eşitsizliği sağlanırken, her xx gerçel sayısı için (m−6)x2−2(m−6)x+m−8<0(m-6)x^2 - 2(m-6)x + m - 8 < 0 eşitsizliğinin de sağlanması için mm'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 9'dur.

Answer: Answer

Answer

Verilen önerme doğrudur. Koşulları sağlayan mm tam sayılarının toplamı gerçekten 9'dur.
Verilen önermedeki her iki eşitsizlik de başkatsayıların sıfır olma durumları dahil edilerek çözüldüğünde elde edilen m∈[2,5)m \in [2, 5) aralığındaki tam sayıların (2,3,42, 3, 4) toplamı gerçekten 9 çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliğin daima sağlanma durumunu inceleme
m=2m=2 için 3>03>0 (doğru). m≠2m \neq 2 için m−2>0  ⟹  m>2m-2>0 \implies m>2 ve Δ1=4(m−2)2−12(m−2)<0  ⟹  4(m−2)(m−5)<0  ⟹  2<m<5\Delta_1 = 4(m-2)^2 - 12(m-2) < 0 \implies 4(m-2)(m-5) < 0 \implies 2 < m < 5. Birleşimden m∈[2,5)m \in [2, 5) elde edilir.
İkinci dereceden bir ifadenin her xx için pozitif olması, başkatsayısının pozitif ve diskriminantının negatif olmasına bağlıdır. Ayrıca başkatsayının sıfır olması durumu doğrusal terimleri yok ederek sabit bir pozitif sayı bırakıyorsa bu durum da çözüme dahil edilmelidir.
2
İkinci eşitsizliğin daima sağlanma durumunu inceleme
m=6m=6 için −2<0-2<0 (doğru). m≠6m \neq 6 için m−6<0  ⟹  m<6m-6<0 \implies m<6 ve Δ2=4(m−6)2−4(m−6)(m−8)<0  ⟹  8(m−6)<0  ⟹  m<6\Delta_2 = 4(m-6)^2 - 4(m-6)(m-8) < 0 \implies 8(m-6) < 0 \implies m < 6. Birleşimden m∈(−∞,6]m \in (-\infty, 6] elde edilir.
İkinci dereceden bir ifadenin her xx için negatif olması, başkatsayısının negatif ve diskriminantının negatif olmasına bağlıdır. Başkatsayının sıfır olması durumu da ayrıca kontrol edilmelidir.
3
İki durumun kesişimini alarak ortak mm değerlerini belirleme
m∈[2,5)∩(−∞,6]  ⟹  m∈[2,5)m \in [2, 5) \cap (-\infty, 6] \implies m \in [2, 5) aralığı elde edilir.
Her iki eşitsizliğin de aynı anda her xx gerçel sayısı için sağlanması istendiğinden elde edilen iki aralığın kesişimi alınmalıdır.
4
Aralıktaki tam sayıların toplamını bulma
m∈{2,3,4}m \in \{2, 3, 4\} olup toplamları 2+3+4=92+3+4=9 olarak bulunur.
Belirlenen aralıktaki tam sayı değerleri toplanarak önermenin doğruluğu test edilir.

Key Concept

İkinci dereceden eşitsizliklerin daima sağlanması (işaretinin sabit kalması) durumunda başkatsayı ve diskriminant incelemesi ile başkatsayının sıfır olma durumunun kontrolü.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi