Examkin

Question

Difficulty: MediumBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir y=f(t)y = f(t) ve t=g(x)t = g(x) fonksiyonları

y=t2−3ty = t^2 - 3t
t=x2+5t = \sqrt{x^2 + 5}

eşitlikleriyle veriliyor.

Buna göre, x=2x = 2 değeri için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Answer: 2

Answer

x = 2 değeri için dy/dx türevinin değeri 2'dir.
Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi, y'nin t'ye göre türevi ile t'nin x'e göre türevinin çarpımına eşittir. x = 2 değeri için t = 3 olur. Bu noktalardaki dy/dt = 3 ve dt/dx = 2/3 değerleri çarpıldığında doğru türev değeri 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
x = 2 değeri için t değişkeninin değerini bulma
t = 3
Zincir kuralında türev değerlerini doğru noktalarda değerlendirebilmek için x'e karşılık gelen t değerini bilmemiz gerekir.
2
y fonksiyonunun t değişkenine göre türevini alıp t = 3 için değerini hesaplama
dy/dt = 3
y = t^2 - 3t ifadesinin t'ye göre türevi dy/dt = 2t - 3'tür. t = 3 yazıldığında 2(3) - 3 = 3 elde edilir.
3
t fonksiyonunun x değişkenine göre t��revini alıp x = 2 için değerini hesaplama
dt/dx = 2/3
t = (x^2 + 5)^(1/2) fonksiyonunun x'e göre türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: dt/dx = (1/2) * (x^2 + 5)^(-1/2) * 2x = x / \sqrt{x^2 + 5} olur. x = 2 için bu değer 2 / \sqrt{9} = 2/3 olarak bulunur.
4
Zincir kuralını uygulayarak dy/dx değerini hesaplama
dy/dx = 2
Zincir kuralına göre dy/dx = (dy/dt) * (dt/dx) olur. Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak dy/dx = 3 * (2/3) = 2 elde edilir.

Key Concept

Zincir Kuralı yardımıyla bileşke fonksiyonların türevinin hesaplanması.

Alternative Method

Zincir kuralını doğrudan uygulamak yerine y fonksiyonunda t yerine eşiti olan ifadeyi yazarak y'yi doğrudan x cinsinden elde edebiliriz: y=(x2+5)2−3x2+5=x2+5−3x2+5y = (\sqrt{x^2 + 5})^2 - 3\sqrt{x^2 + 5} = x^2 + 5 - 3\sqrt{x^2 + 5}. Buradan doğrudan x'e göre türev alırsak: y′=2x−3⋅2x2x2+5=2x−3xx2+5y' = 2x - 3 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = 2x - \frac{3x}{\sqrt{x^2+5}}. x=2x = 2 için y′=2(2)−3(2)22+5=4−63=4−2=2y' = 2(2) - \frac{3(2)}{\sqrt{2^2+5}} = 4 - \frac{6}{3} = 4 - 2 = 2 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic