Examkin

Question

Difficulty: HardBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(g(x)⋅x2−x)=x3+2[g(x)]3f(g(x) \cdot x^2 - x) = x^3 + 2[g(x)]^3
eşitliği sağlanmaktadır. gg fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=3x−5y = 3x - 5 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Answer: 2

Answer

f'(2) değeri 2 olarak bulunur.
Verilen eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi zincir ve çarpım kuralları kullanılarak alınmıştır. x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi olan y = 3x - 5 kullanılarak g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri tespit edilmiştir. Bu değerler türev denkleminde yerlerine yazıldığında f'(2) * 15 = 30 bağıntısı elde edilmiş ve buradan f'(2) değeri 2 olarak hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusu denkleminden g(2) ve g'(2) değerlerini bulma
g(2) = 1 ve g'(2) = 3
g fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu y = 3x - 5 olduğundan, teğet noktası olan (2, g(2)) noktası bu doğrunun üzerindedir. Buradan g(2) = 3(2) - 5 = 1 elde edilir. Teğet doğrusunun eğimi ise fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan g'(2) = 3 olur.
2
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alma
f'(g(x) * x^2 - x) * [g'(x) * x^2 + 2x * g(x) - 1] = 3x^2 + 6[g(x)]^2 * g'(x)
Bileşke fonksiyon türevi için zincir kuralı, içteki g(x) * x^2 ifadesi için ise çarpım kuralı uygulanmıştır.
3
Türev denkleminde x = 2 yazarak f'(2) değerini bulma
f'(2) = 2
x = 2 için g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri türev denkleminde yerine yazıldığında, sol taraf f'(2) * [3 * 4 + 4 * 1 - 1] = f'(2) * 15 olur. Sağ taraf ise 3 * 4 + 6 * (1)^2 * 3 = 30 olur. f'(2) * 15 = 30 eşitliğinden f'(2) = 2 bulunur.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi, zincir kuralı ve teğet eğimi ilişkisi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic