Examkin

Question

Difficulty: HardDizi Kavramı ve Genel Terim

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

an=log⁡5(k2n2−18n+47)a_n = \log_5 \left( \frac{k}{2n^2 - 18n + 47} \right)

biçiminde tanımlanıyor. Bu dizinin en büyük terimi 22 olduğuna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Answer: 175

Answer

Dizinin en büyük terimi n=4n = 4 veya n=5n = 5 için elde edilir ve bu durumda kk değeri 175 olarak bulunur.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan, paydadaki ifadenin en küçük değeri tepe noktasına en yakın tam sayılar olan 4 veya 5 için elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında k/7 = 25 eşitliğinden k = 175 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin genel terimini maksimum yapan koşulları belirlemek
Paydadaki 2n2−18n+472n^2 - 18n + 47 ifadesinin minimum değeri alması gerektiği tespit edildi.
Logaritma tabanı 1'den büyük olduğundan, kesirli ifadenin en büyük olması için paydasının en küçük olması gerekir.
2
Paydadaki ifadenin tepe noktasını bulmak
r=4,5r = 4,5
2x2−18x+472x^2 - 18x + 47 parabolünün tepe noktası x=−b2ax = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
3
Dizi tanım kümesi sınırını (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) uygulamak
n=4n = 4 veya n=5n = 5 değerleri seçilir. Paydanın minimum değeri: 2(4)2−18(4)+47=72(4)^2 - 18(4) + 47 = 7
Dizinin terim indisi tam sayı olmak zorundadır. Bu yüzden 4,54,5 değerine en yakın tam sayılar olan 44 ve 55 incelenir.
4
Maksimum terim değerini kullanarak kk değerini hesaplamak
k=175k = 175
a4=log⁡5(k7)=2  ⟹  k7=25  ⟹  k=175a_4 = \log_5\left(\frac{k}{7}\right) = 2 \implies \frac{k}{7} = 25 \implies k = 175 eşitliği çözülür.

Key Concept

Dizi tanım kümesi (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) ve genel terim özellikleri
Rate this question

Topics

Dizi Kavramı ve Genel Terim

More questions from this topic