Examkin

Question

Difficulty: MediumDizi Kavramı ve Genel Terim
Genel terimi
an={3n−k,n tek isen2−12n+32,n c¸ift isea_n = \begin{cases} 3n - k, & n \text{ tek ise} \\ n^2 - 12n + 32, & n \text{ çift ise} \end{cases}
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin negatif terimlerinin sayısı 44 olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    15
  3. 16Answer
  4. D
    21
  5. E
    22

Answer

Negatif terim sayısının 4 olmasını sağlayan en küçük kk tam sayısı 16'dır.
Çift indisli terimler incelendiğinde sadece a6a_6 teriminin negatif olduğu görülür. Toplam 4 negatif terim elde edebilmek amacıyla tek indisli terimlerden tam olarak 3 adet negatif terim gelmelidir. an=3n−ka_n = 3n - k dizisi artan olduğundan, negatif terimler sırasıyla en küçük tek indisli terimler olan a1,a3a_1, a_3 ve a5a_5 olmalıdır. Bir sonraki tek indisli terim olan a7a_7 ise negatif olmamalıdır. Buradan hareketle a5<0  ⟹  k>15a_5 < 0 \implies k > 15 ve a7≥0  ⟹  k≤21a_7 \ge 0 \implies k \le 21 eşitsizlikleri elde edilir. Bu aralıkta kk'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 16'dır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin genel terimi tek ve çift indisler için parçalı olarak tanımlandığından, çift ve tek indisli durumları ayrı ayrı incelemek üzere planlama yapılır.
Çift indisli terimler için an=n2−12n+32a_n = n^2 - 12n + 32 ve tek indisli terimler için an=3n−ka_n = 3n - k ifadeleri kullanılacaktır.
Dizi indislerinin pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) olması koşuluna uygun terimleri belirlemek.
2
Çift indisli terimlerin hangilerinin negatif olduğunu bulmak için n2−12n+32<0n^2 - 12n + 32 < 0 eşitsizliği çözülür.
(n−4)(n−8)<0  ⟹  4<n<8(n-4)(n-8) < 0 \implies 4 < n < 8 bulunur. Bu aralıktaki tek çift pozitif tam sayı n=6n = 6 olduğundan, çift indisli terimlerden yalnızca a6a_6 negatiftir.
Çift terimlerden gelen negatif terim sayısını tam olarak saptamak.
3
Toplam negatif terim sayısı 4 olarak verildiğinden ve bunlardan 1 tanesi çift indisli terimlerden geldiğinden, tek indisli terimlerden tam olarak 3 tanesinin negatif olması gerektiği çıkarımı yapılır.
Tek indisli terimlerden ilk üçü (a1,a3,a5a_1, a_3, a_5) negatif, dördüncü tek terim (a7a_7) ise sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
an=3n−ka_n = 3n - k ifadesi nn arttıkça artan bir dizi oluşturduğundan, negatif terimler en küçük indisliler olmak zorundadır.
4
Tek indisli terimler için belirlenen koşullar eşitsizliğe dökülür.
a5<0  ⟹  3(5)−k<0  ⟹  k>15a_5 < 0 \implies 3(5) - k < 0 \implies k > 15 ve a7≥0  ⟹  3(7)−k≥0  ⟹  k≤21a_7 \ge 0 \implies 3(7) - k \ge 0 \implies k \le 21 elde edilir. Bu iki eşitsizlik birleştirilerek 15<k≤2115 < k \le 21 bulunur.
kk parametresinin alabileceği değer aralığını belirlemek.
5
15<k≤2115 < k \le 21 aralığındaki en küçük kk tam sayısı tespit edilir.
Bu aralıktaki en küçük tam sayı 16'dır.
Soruda istenen en küçük kk tam sayı değerine ulaşmak.

Key Concept

Dizi tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması, parçalı tanımlı dizilerde genel terim analizi ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü.
Rate this question

Topics

Dizi Kavramı ve Genel Terim

More questions from this topic